Notes in Verständnis

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Published	11/12/2024	Was gilt für holomorphe Funktionen \(f:\Omega\rightarrow\mathbb C\) im Bezug auf 1. Stammfunktionen 2. geschlossene Kurven?Außerdem ist&nbsp…
Published	11/13/2024	Wie kann eine komplexwertige Funktion \(f: \Omega \to \mathbb C\) in zwei reellwertige aufgespalten werden?
Published	11/25/2024	Wie lautet die  Definition  für ein Gebiet \(\Omega\) in der komplexen Zahlenebene?(Prof. Hörmanns Definition für die VO…
Published	11/12/2024	Definition Stetigkeit.Wann ist eine Funktion \(f:\Omega\to\mathbb C\) stetig auf dem Gebiet \(\Omega\)?(Ohne \(\lim\))
Published	11/12/2024	Satz.Ist \(f\) holomorph auf dem Gebiet \(\Omega, z_0 \in \Omega\) und \(R_0:=\text{dist}(z_0, \partial\Omega)\) (minima…
Published	01/12/2025	Bonus. Identitätssatz. Seien \(f,g:\Omega \to \mathbb C\) analytisch, \(z_0\in \Omega\) und \((z_n)_{n\in\mat…
Published	11/16/2024	Definition. Was ist die Ordnung der Nullstelle?Wie erhält man sie?
Published	11/12/2024	Was bedeutet eigentlich... "Homologie"...also wortwörlich?
Published	11/12/2024	Was bedeutet eigentlich... "Homotopie"...also mathematisch?
Published	11/12/2024	Was ist eine Möglichkeit, die reelle Exponentialfunktion als holomorphe Funktion \(\mathbb C \to \mathbb C\) fortzusetzen?Bonus: Ist das die…
Published	11/13/2024	Satz von Morera. Ist \(f : \Omega \to \mathbb C\) stetig und \(\int\limits_\gamma f(z)\, dz = 0\) für jede geschlossene…
Published	11/12/2024	Definition. Wann umläuft eine geschlossene Kurve \(\gamma:[a,b]\to\Omega\) den Punkt \(z_0\in\Omega\) einfach positiv?W…
Published	11/12/2024	Cauchy'scher Integrasatz (Homologieversion). Sei \(z_0\in\Omega\) und \(f\) eine holomorphe Funktion auf dem …
Published	11/12/2024	Cauchy'scher Integralsatz (Homotopieversion). Sei \(f\) eine holomorphe Funktion auf dem Gebiet \(\Omega\) un…
Published	11/13/2024	Satz. Sei \(\gamma\) eine geschlossene Kurve (also nicht zwingend ein Kreis!) im Gebiet \(\Omega\), die jeden von …
Published	11/12/2024	Bonus. Satz von Lebesgue über den dominierten Konvergenzsatz.Sei \((f_n)_{n\in\mathbb N}\) eine Folge messbarer Funktionen \…
Published	11/16/2024	Bonus. Satz von Lebesgue über den dominierten Konvergenzsatz.In Worten:
Published	11/12/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Sei \(z_0\) eine isolierte Singularität der Funktion \(f\). Sei&nb…
Published	12/11/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Sei \(z_0\) eine isolierte Singularität der Funktion \(f\). Sei&nb…
Published	12/15/2024	Fouriertransformation für \(L^1\)-Funktionen.Was gilt allgemein für die Fouriertransformierte \(\widehat{u}\) von \(u\)? (MC)1.&nb…
Published	11/13/2024	Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \(L^1\).Sei \((T_au)(x):=u(x-a),\,x\in\mathbb R^n\).Was gilt dann für die Translation \(\w…
Published	11/12/2024	Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \(L^1\).Definition Modulation \((M_bu)(x):=\dots\)
Published	11/12/2024	Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \(L^1\).Modulation.Was gilt für \(\widehat{M_au}=\dots\)Eine Modulation im Ortsraum ist ... im …
Published	11/27/2024	Definition Faltung.Seien \(u,v\in L^1(\mathbb R^n)\). Dann ist die Faltung \(u*v:\dots\)Bonus: Was hat die Faltung mit Gewichtung zu tun?Was…
Published	11/16/2024	Wahr oder Falsch? Eigenschaften einer Faltung.Eine Faltung \(uv: \mathbb R^n \to \mathbb C\) ist nicht kommutativ\(uv≠v*u\)
Published	11/25/2024	Eigenschaften einer Faltung.Wie sieht die Fouriertransformierte \(\widehat{u*v}=\dots\) aus?Bonus: Beweisskizze.
Published	12/10/2024	Fülle die Lücken mit gleichwertigen Konzepte!Eine stetige Funktion \(f: \Omega \to \mathbb C\) ist holomorph auf einem Gebiet \(\Omega\…
Published	11/12/2024	Wann heißt ein Punkt \(z_0 \in \mathbb C\) isolierte Singularität der Funktion \(f\)?
Published	11/12/2024	Wieso kann ein Pol keine hebbare Singularität sein?
Published	11/12/2024	Satz.Wann konvergiert eine Laurent-Reihe und wie nennt man die zwei "Teile"?Bonus: Was hat das mit Taylor zu tun?
Published	12/23/2024	Definition. Eine isolierte Singularität \(z_0\) der Funktion \(f\) heißthebbar, falls...Pol, falls ...wesentliche Singu…
Published	11/12/2024	DefinitionSei \(z_0 \in \Omega\) eine isolierte Singularität der holomorphen Funktion \(f: \Omega \ \backslash \ \{z_0\} \to \mathbb C\…
Published	11/13/2024	Sei \(z_0\) hebbar oder ein Pol der Ordnung 1, dann lautet die Laurent-Entwicklung der Funktion \(f\) wie folgt:\[f(z) = \frac{a_{…
Published	11/13/2024	Sei \(z_0\) Pol der Ordnung 1 der nahe \(z_0\) holomorphen Funktionen \(f\) und \(g\). Es gelten dann folgende…
Published	11/13/2024	Sei \(z_0\) eine einfache Nullstelle der holomorphen Funktion \(h\).Wie kann das Residuum von \(\frac 1 h\) bei \(z_0\)&…
Published	11/14/2024	Sei \(z_0\) ein Pol höchstens \(m\)-ter Ordnung der Funktion \(f\). Die Laurent-Reihe ist dann von der Form\[\sum\limits_{n=-…
Published	01/18/2025	Residuensatz. Sei \(f\) holomorph auf dem Gebiet \(\Omega\) abgesehen von isolierten Singularitäten. Sei \(\gamma\…
Published	01/12/2025	Sei \(f\) holomorph auf \(\mathbb C\) abgesehen von endlich vielen isolierten Singularitäten \(z_1, \ldots, z_N\)…
Published	01/25/2025	Fourierintegrale.  Sei \(f\) holomorph auf \(\mathbb C\) abgesehen von endlich vielen isolierten Singularitäten&n…
Published	11/20/2024	Für einen Multiindex \(\alpha\) nennen wir eine komplexwertige Funktion \(u(x)\in C^\infty (\mathbb R^n)\) rasch falle…
Published	12/29/2024	Eine Eigenschaft von Schwartz-Funktionen \(\mathscr S \) ist folgende:\[\mathscr S \subseteq L^1 \cap L^2\]Welche Eigenschaften gelten ferne…
Published	11/14/2024	Was bedeutet es, wenn eine Funktion \(v\) polynomial beschränkt ist?
Published	01/13/2025	Für \(u \in \mathscr S\) ist auch \(\widehat u \in \mathscr S\) und für beliebiges \(\alpha \in \mathbb N_0^n\) gelten d…
Published	01/27/2025	Standard-Gaußfunktion.Sei \((u_k)_{k\in\mathbb N}\) mit \(u_k:=k\cdot g(kx)\) mit \(g(x):=e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}\) (\(x\…
Published	11/13/2024	Notation.Wie wird die Menge aller Distributionen  \(U:\mathscr D(\Omega)\to\mathbb C,\varphi\mapsto\braket{U,\varphi}\) bezeichnet?
Published	11/12/2024	Beispiel zu Distributionen.Definition.Sei \(f\in L_\text{loc}^1\) (lokal integrierbar). Wie werden dann reguläre Distributionen \(…
Published	01/08/2025	Verständniskarte.Es geht um die Menge aller Distributionen \(\mathscr D'(\Omega)\) und die Menge aller Funktionen \(F(\Omega)…
Published	12/03/2024	Verständniskarte.Es geht um die Menge aller Distributionen \(\mathscr D'(\Omega)\) und die Menge aller Funktionen \(F(\Omega)…
Published	12/15/2024	Verständniskarte.Es geht um die Menge aller Distributionen \(\mathscr D'(\Omega)\) und die Menge aller Funktionen \(F(\Omega)…
Published	11/20/2024	Verständniskarte.Es geht um die Menge aller Distributionen \(\mathscr D'(\Omega)\) und die Menge aller Funktionen \(F(\Omega)…
Published	11/20/2024	Interpretation Fouriertransformationen. (längere Verständniskarte)Vergleiche die allgemeine Fourierreihe\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne…
Published	11/25/2024	T1 \(=\) Steop 2 auf Steroiden Wie verhalten sich Taylorreihen zu Laurentreihen? \[{\text{T1} \over \text{Steop 2}}={\text{Taylor?…
Published	01/13/2025	Wie lauten die Lösungsformel \(u\) für das folgende Problem? \((x,t)\mapsto u(x,t)\)\[\partial_t^2u(x,t)=c^2\partial_x^2u(x,t)\]&…
Published	01/25/2025	Wie lautet die Lösungsformel für \(u(x,t)\) für das folgende Problem (Wärmeleitungsgleichung in \(\mathbb R^{1+1}\))?&…
Published	11/21/2024	Auffrischung Fourierreihen. Was ist die Grundidee einer Fourierreihe?Qaulitativ
Published	11/16/2024	Auffrischung Fourierreihen. Grundidee einer Fourierreihe.QuantitativSei \(f\in L^2(\mathbb R,\mathbb C)\) eine \(T\)-pe…
Published	11/12/2024	Bonus. Satz von Lebesgue über den dominierten Konvergenzsatz.In Worten:
Published	11/20/2024	Green'sche Darstellungsformel.Wie schaut \(u(x)=\dots\) aus?\(G_x:=\Gamma_x+H_x\)wobei \(\Delta \Gamma_x=\delta _x\) auf \(\O…
Published	11/20/2024	Poisson-Integralformel.Sei \(u\) auf \(\Omega\subseteq\mathbb R^n\) harmonsich \((\Delta u=0)\) mit \(\overline{K_R…
Published	11/20/2024	Eigenwertprobleme. \(-\Delta v=\lambda v\) \(\text{in }\Omega,\) \(v=0\) \(\text{auf }\partial\Omega\)Was muss für \(\Omega\)…
Published	11/26/2024	Wie lautet die Lösungsformel für \(u(x,t)\) für das folgende Problem?  \((x,t)\mapsto u(x,t)\)\[\partial_tu(x,t)-…
Published	11/24/2024	Für welche Klasse von Funktionen funktioniert diese Lösungsformel allgemein?\((x,t)\mapsto u(x,t)\)\(\partial_tu(x,t)-\Delta u(x,t)=0\)   &n…
Published	01/01/2025	Kirchhoffsche FormelHomogenes AWP des Wellenoperators in 3-dim\[\Box u=0\;\;\;\text{in }\mathbb R^3\times(0,T)\]\[\partial_tu(x,0)=u_1(x)\]\[u(x,0)=u_…
Published	01/15/2025	Anwendung Distributionen (simplifiziert) Was ist der Sinn hinter \(\varphi \in \mathcal D (\mathbb R)?\)Braucht man \(\varphi \)&…
Published	01/15/2025	Auffrischung Euler-Formel Stelle \[\cos \varphi, \sin \varphi\]so dar, dass nur noch \(\dots e^{\dots}\) übrig bleibt!
Published	01/15/2025	Längere Verständniskarte.Was sind die zentralen Aussagen der 3 Cauchy'schen Integralsätze und wie unterscheiden sie sich?
Published	01/28/2025	Bonus: Standard-Gauß Integrale\[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\ ?\]\[\int_{-\infty}^\infty e^{-t\cdot( 1\cdot x^1+\alpha)^2}dx^1=\int_{\mathbb R^1}…
Published	03/07/2025	Defnition.Skalarprodukt auf \(L^2(\Omega)\).
Published	01/23/2025	Poisson-Integralformel auf einer Kugel in n Dimensionen.Lösung des Dirichlet-Problems mit stetiger Randfunktion \(g\):\[\Delta u=0\;\;\text{ in }…
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