Notes in Calcul différentiel

To Subscribe, use this Key

Status	Last Update	Fields
Published	01/28/2025	Différentielle du déterminant\(\det(M + tE_{i, j}) = {{c1::\begin{vmatrix}m_{1,1}&\cdots&m_{1,j}&\cdots&m_{1,n} \\ \vdots&&\v…
Published	03/18/2025	Soient \((p, q) \in \mathbb N^2\), \(\alpha \in \mathbb R\) et \(r \in \mathbb R_+\). On pose \(f : \left\{ \begin{array}{l} …
Published	03/18/2025	Soit \(f \in \mathrm C^1(\mathbb R, E)\). On définit \(g : \mathbb R^2 \to \mathbb R\) par \(g(x, x) = f'(x)\) et \(\for…
Published	03/18/2025	Différentielle de l'inverse. Montrer que l'application \(f : \left\{ \begin{array}{c}\mathrm {GL}_n(\mathbb R) & \to & \mathrm M_n(\…
Published	03/18/2025	Soient \(\varphi \in \mathrm C^0(\mathbb R^2, \mathbb R)\) et \(f : (x, y) \mapsto \displaystyle \int_0^x \left(\displaystyle \int_0^y …
Published	03/18/2025	Montrer que \(\varphi : M \mapsto M^p\) est différentiable sur \(\mathrm M_n(\mathbb R) \) et donner sa différentielle.{{c1::On a&…
Published	03/19/2025	Différentielle du gradient. Soit \(f \in \mathrm C^2(U, \mathbb R)\). Montrer que le gradient de \(f\) est différentiable et donne…
Published	03/19/2025	Fonctions holomorphes et condition de Cauchy-Riemann. Soit \(g : \mathbb C \to \mathbb C\) une application \(\mathbb R\)-linéaire.…
Published	03/19/2025	Fonctions holomorphes et condition de Cauchy-Riemann. Soit \(f : \mathbb C \to \mathbb C\) une application différentiable. Montrer que …
Published	03/19/2025	Fonctions holomorphes et condition de Cauchy-Riemann. Soit \(f : \mathbb C \to \mathbb C\) une application différentiable. On pose \(P(…
Published	03/19/2025	Soit \(f : E \to F\) différentiable en \(\vec 0\) telle que \(\forall \vec x \in E \backslash \{ \vec 0\}, \forall t \in \ma…
Published	03/19/2025	Théorème des accroissements finis. Soient \(f : U \to \mathbb R\) différentiable sur \(U\) et \((\vec a, \vec b) \in U^2…
Published	03/21/2025	Généralisation du théorème de Rolle. Soient \(S\) la sphère unité et \(f : E \to \mathbb R\) une application différentiable t…
Published	03/21/2025	On pose pour tout \(M \in \mathrm M_n(\mathbb R)\), \(f(M) = (\mathrm {tr}(M), \cdots, \mathrm {tr}(M^n))\). Montrer que le rang de \(…
Published	03/21/2025	Montrer que \(\{M \in \mathrm M_n(\mathbb R) \ \| \ \pi_M = \chi_M \}\) est un ouvert de \(\mathrm M_n(\mathbb R)\).{{c1::On a \(\p…
Published	03/21/2025	Soient \(\alpha > 0\) et \(f : E \to E\) une application différentiable sur \(E\) telle que \(\forall (\vec x, \…
Published	03/21/2025	Factorisation par les zéros. Soit \(B\) la boule unité ouverte de \(\mathbb R^n\). Soit \(f \in \mathrm C^\infty(B , \mathbb …
Published	03/21/2025	Fonctions homogènes. Soit \(f :\mathbb R^n \to \mathbb R\) une application différentiable. On dit que \(f\) est homogène de d…
Published	03/21/2025	Soit \(f \in \mathrm C^2(\mathbb C, \mathbb C)\) holomorphe en tout point de \(\mathbb C\). Montrer que \(\Delta f = 0\), où …
Published	03/21/2025	Un calcul atroce. Soient \(\varphi\) une isométrie que \(\mathbb R^2\) et \(f \in \mathrm C^2(\mathbb R^2, \mathbb R)\).…
Published	03/22/2025	Déterminer les fonctions \(f \in \mathrm C^2\left(\left(\mathbb R_+^* \right)^2, \mathbb R \right)\) telles que \(\forall (x, y) \in \l…
Published	03/24/2025	Fonctions coercives. Soient \(C\) une partie fermée et non bornée de \(E\) et \(f \in \mathrm C^0(E, \mathbb R)\). On su…
Published	03/24/2025	Descente de gradient. Soit \(f \in \mathrm C^1(\mathbb R^n, \mathbb R)\) telle qu'il existe \(\alpha > 0\) tel que \(…
Published	03/24/2025	Descente de gradient. Soit \(f \in \mathrm C^1(\mathbb R^n, \mathbb R)\) telle qu'il existe \(\alpha > 0\) tel que \(…
Published	03/25/2025	Principe du maximum. Soit \(f \in \mathrm C^2(E, \mathbb R)\) telle que \(\forall \vec x \in \mathrm B(\vec 0, 1), \Delta f(\vec x…
Published	03/25/2025	Principe du maximum. Soit \(f \in \mathrm C^2(E, \mathbb R)\) telle que \(\forall \vec x \in \mathrm B(\vec 0, 1), \Delta f(\vec x…
Published	03/26/2025	Soit \(f \in \mathrm C^2(\mathbb R^n, \mathbb R^n)\) telle que \(\forall \vec a \in \mathbb R^n, \mathcal J_f(\vec a) \in \mathrm A_n(\…
Published	03/26/2025	Soit \(f \in \mathrm C^2(\mathbb R^n, \mathbb R^n)\) telle que \(\forall \vec a \in \mathbb R^n, \mathrm df_\vec a \in \mathrm {SO}_n(\…
Published	03/27/2025	Inégalité arithmético-géométrique. Montrer que \(\forall (x_1, \cdots, x_n) \in \left(\mathbb R_+ \right)^n, \displaystyle \sqrt[n]{\display…
Status	Last Update	Fields