Notes in Probabilités

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Published	01/28/2025	Produit eulérien (approche probabiliste)Pour démontrer le produit eulérien de la fonction \(\zeta\) de manière probabiliste : Soit \(s …
Published	01/28/2025	Formule du crible de PoincaréSoient \(A_1, \ ... ,\ A_n\) des évènements. Montrer \({{c1::P\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i\righ…
Published	01/28/2025	Loi hypergéométrique. Dans une équipe de \(N\) joueurs, \(n\) sont dopés. On teste \(\ell\) joueurs choisis de mani…
Published	01/28/2025	Loi hypergéométrique, Identité de Vandermonde. Montrer que \(\displaystyle \sum_{k=\max(0, \ell -N +n)}^{\min(\ell, n)} \begin{pmatrix} n \\…
Published	01/28/2025	Loi Hypergéométrique. Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(X(\Omega) = [\![ \max(0, \ell -N +n), \min(\ell, n) ]\!]\)&nbs…
Published	02/14/2025	Loi hypergéométrique. Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(X(\Omega) = [\![ \max(0, \ell -N +n), \min(\ell, n) ]\!]\)&nbs…
Published	02/13/2025	Loi hypergéométrique. Soit \(p \in ]0, 1[\). On suppose que \(X\) est une variable aléatoire qui suit une loi hypergéométrique de …
Published	02/13/2025	Temps d'attente d'au moins un succès. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géomé…
Published	02/11/2025	Lemme de Borel-Cantelli. Soit \((A_n)_{n \geqslant 0}\) une suite d'évènements. On pose \(\lim \sup A_n = \displaystyle \bigcap_{p…
Published	01/28/2025	Lemme de Borel-Cantelli. Soit \((A_n)_{n \in \mathbb N}\) une suite d'évènements. On pose \(\lim \sup A_n = \displaystyle \bigcap_…
Published	01/28/2025	Loi du zéro-un de Borel. Soit \((A_n)_{n \geqslant 0}\) une suite d'évènements indépendants. On suppose que la série \(\displaysty…
Published	01/31/2025	Espérance conditionnelle. Soient \((A_i)_{i \in I}\) un système complet d'évènements et \(X\) une variable aléatoire réelle a…
Published	01/28/2025	Marche aléatoire sur \(\mathbb Z\). On considère une particule se déplaçant sur \(\mathbb Z\). A l'instant \(t=0\), elle est en&nb…
Published	02/07/2025	Loi de Pascal. Soit \((X_n)_{n \in \mathbb N}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et suivant une loi de Bernoulli de para…
Published	01/28/2025	Loi de Pascal. Soit \(X_r\) une variable aléatoire suivant une loi de Pascal de paramètres \(r\) et \(p\). Calculer l'es…
Published	01/28/2025	Soit \(M_n = ((m_{i, j}))_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) où les \(m_{i, j} \sim \mathcal U(\{-1, 1\})\) sont des variables aléat…
Published	01/28/2025	Soit \(M_n = ((m_{i, j}))_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) où les \(m_{i, j} \sim \mathcal U(\{-1, 1\})\) sont des variables aléat…
Published	01/28/2025	Nombre moyen de points fixes. On munit \(S_n\) de la loi uniforme, et on note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre…
Published	01/29/2025	Inégalité de Hoeffding. Soient \(\alpha > 0\), et \((X_n)_{n \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, id…
Published	01/29/2025	Inégalité de Hoeffding. Soient \(\alpha > 0\), et \((X_n)_{n \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, id…
Published	01/31/2025	Soit \((X_n)_{n \geqslant 0}\) une suite de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb N \backslash \{0\}\) indépendantes et id…
Published	01/31/2025	Soient \(X_1, ..., X_n\) des variables aléatoires indépendantes possédant des variances. On suppose que \(Z = \displaystyle \sum_{k=1}^…
Published	02/18/2025	Loi sans mémoire. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb N \backslash \{0\}\), qui vérifie \(\forall (k, …
Published	02/01/2025	Quotient de variables aléatoires. Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires strictement positives, indépendantes et de m…
Published	02/02/2025	Soit \(n \geqslant 2\). On note \(\mathcal A\) l'ensemble des matrices à coefficients dans \(\{-1, 1\}\). Montrer qu'il existe&nbs…
Published	02/02/2025	Montrer que l'on ne peut pas truquer deux dés à \(6\) faces indépendants de sorte que la somme des deux soit équirépartie.{{c1::Si c'était l…
Published	02/03/2025	Inégalité de Paley-Zygmund. Soient \(\eta \in ]0, 1[\) et \(X\) une variable aléatoire positive, dans \(\mathrm L^2\), t…
Published	02/04/2025	Fonction caractéristique. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoire réelles discrètes à valeurs dans \(\mathbb Z\).…
Published	02/17/2025	Formule de Wald. Soit \((X_i)_{i \in \mathbb N \backslash \{0\} }\) une suite de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb N\)…
Published	02/04/2025	Loi fortes des grands nombres : cas particulier. Soit \((X_n)_{n \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires réelles discrètes, in…
Published	02/05/2025	Théorème de Raikov. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans \(\mathbb N\) tell…
Published	02/07/2025	Lemme de Borel-Cantelli. Soit \((A_n)_{n \geqslant 0}\) une suite d'évènements {{c1::}}. On pose \(\lim \sup A_n = {{c1::\displays…
Published	02/07/2025	Loi du zéro-un de Borel. Soit \((A_n)_{n \geqslant 0}\) une suite d'évènements {{c1::indépendants}}. On pose \(\lim \sup A_n = {{c…
Published	02/11/2025	Soit \((X_n)_{n \geqslant 0}\) une suite de variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées de \(L^1\). On s…
Published	02/07/2025	Soient \(A\) et \(B\) deux évènements. Montrer que \(\|\mathrm P(A \cap B) - \mathrm P(A) \mathrm P(B)\| \leqslant \frac14\)&nb…
Published	02/07/2025	Inégalité de Cantelli. Soit \(X\) une variable aléatoire dans \(L^2\). Montrer que \(\forall \lambda > 0, \mathrm P(X \geq…
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