Notes in Intégration

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Published	01/28/2025	Classe Ck de la fonction Gamma d'Euler.\[\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\mathrm{d}t.\]Comment vérifier l'hypothèse de domination ?
Published	01/28/2025	Classe Ck de la fonction Gamma d'Euler.\[\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\mathrm{d}t.\]Hypothèse de domination : pour…
Published	01/28/2025	Classe Ck de la fonction Gamma d'Euler.\[\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\mathrm{d}t.\]Hypothèse de domination : pour…
Published	01/28/2025	Intégrale de Dirichlet. Pour calculer \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d}t\) :On pose : \(F(x) = {{c1::\d…
Published	01/28/2025	Intégrales de Wallis : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \mathrm{W}_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2} } (\cos(t))^n \mathrm{d}t = \displaystyle …
Published	01/28/2025	Intégrales de Wallis (formule de récurrence)Soit \(n \in \mathbb{N}\).\[\mathrm{W}_{n+2} = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2} } \cos^{n+2}(t) \m…
Published	01/28/2025	Intégrales de Wallis (équivalent asymptotique)On a : \(\forall n \in \mathbb{N},\ {{c1::(n+1)\mathrm{W}_{n+1}\mathrm{W}_n = \frac{\pi}{2} }}\). (…
Published	01/28/2025	Intégrale de Gauß (partie 1)Pour montrer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle {{c1::\int_0^{\sqrt{n} } \left(1-\frac{t^2}{n}\right)…
Published	02/13/2025	Intégrale de Gauß (partie 2).On a : \(\forall n \in \mathbb{N}\ \backslash\ \{0\}, \displaystyle \int_0^{\sqrt{n}} \left(1-\frac{t^2}{n}\right)^n…
Published	01/28/2025	Soit \(f \in \mathrm C^0([a, b], \mathbb R)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N, \displaystyle \int_a^b x^nf(x)\mathrm dx = 0\). Mont…
Published	01/28/2025	Soit \(f : [a, +\infty[ \to \mathbb C\) {{c1::uniformément continue}} et telle que \({{c1::\displaystyle \int_a^{+\infty} f}}\) co…
Published	01/28/2025	Soit \(f : \mathbb R_+ \to \mathbb R\) de classe \(\mathrm C^2\) telle que \(f^2\) et \(f''^2\) soient intégra…
Published	01/28/2025	Inégalité de Young. Soit \(f : \mathbb R^+ \to \mathbb R\) une fonction {{c1::dérivable et strictement croissante telle que \(f(0)…
Published	01/28/2025	Première formule de la moyenne. Soit \(f : {{c1::[a, b]}} \to \mathbb {{c1::R}}\) une fonction {{c1::continue}} et \(g : {{c1::[a,…
Published	01/28/2025	Seconde formule de la moyenne. Soient \(f : {{c1::[a, b]}} \to \mathbb R\) une fonction {{c1::positive décroissante de classe \(\m…
Published	01/28/2025	Soit \(f : \mathbb R \to \mathbb C^*\) une fonction de classe \(\mathrm C^1\), \(2\pi\)-périodique et ne s'annulant pas. On pose&n…
Published	01/28/2025	Preuve de théorème de D'Alembert-Gauss. On suppose que \(P \in \mathbb C[X]\) non constant ne s'annule pas. On note \(n = \de…
Published	01/28/2025	Théorème des résidus pour les enfants. Soit \(P \in \mathbb C[X]\) dont on note \(\alpha_1, ..., \alpha_n\) ses racines. Mont…
Published	01/28/2025	Soit \((k, n) \in \mathbb N^2\).\[\displaystyle \int_0^1 x^k \ln^n(x) \mathrm dx = {{c1::\frac {(-1)^n n!}{(k+1)^{n+1} } }}\]Démonstration :&nbsp…
Published	01/28/2025	Transformation de Fourier. Soit \(f \in \mathrm L^1(\mathbb R, \mathbb C)\) de classe \(\mathrm C^1\) sur \(\mathbb R\)&…
Published	01/28/2025	Soient \(n \in \mathbb N \backslash \{0, 1\}\) et \(f \in \mathrm C^n(I, \mathbb C)\) tel qu'il existe \(x_0 \in I\) tel…
Published	01/28/2025	Intégrales de Fresnel.Calculer \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(t^2) \mathrm dt\) et \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t^2) \m…
Published	01/28/2025	Formule de Weierstraß. Soit \(\gamma\) la constante d'Euler, et \(\forall x \in \mathbb R_+^*, \Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{…
Published	02/02/2025	Fonction Digamma. Soient \(\gamma\) la constante d'Euler, et \(\forall x \in \mathbb R_+^*, \psi(x) = \frac {\Gamma ' (x)} {\Gamma…
Published	01/28/2025	Calculer \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t} \ln(t) \mathrm dt\).{{c1::On pose \(\psi(x) = \frac {\Gamma'(x)} {\Gamma(x)} = - \frac 1 x …
Published	01/28/2025	Fonction Beta d'Euler. On pose \(\forall (x, y) \in (\mathbb R_+^*)^2, \mathrm B(x, y) = \displaystyle \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \mathrm d…
Published	01/28/2025	Fonction Beta d'Euler. On note \(\forall (x, y) \in (\mathbb R_+^*)^2, \Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t} \mathrm dt\)&…
Published	01/28/2025	Intégrale de Gauß (avec fonction Beta d'Euler). On note \(\forall (x, y) \in (\mathbb R_+^*)^2, \Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty}t^…
Published	01/28/2025	Soit \((a, b) \in \mathbb R^2\) tel que \(a < b\). Soit \(f \in \mathrm C^0([a, b], \mathbb R_+^*)\). Montrer que \(\displ…
Published	01/28/2025	Soit \(f \in \mathrm C^0([0, 1], \mathbb R_+^*)\). Montrer que \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \displaystyle \int_0^1 (f(t))^x \mathrm…
Published	01/31/2025	Transformation de Laplace. Soient \(f \in \mathrm C^0(\mathbb R_+, \mathbb R)\) telle qu'il existe \(M > 0 \) et \(r …
Published	01/28/2025	Fonction Gamma d'Euler. On note \(\forall x \in \mathbb R_+^*, \Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm dt\). Montr…
Published	01/28/2025	Fonction Gamma d'Euler. On note \(\forall x \in \mathbb R_+^*, \Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm dt\). Montr…
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