Notes in Séries entières

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Published	01/28/2025	formule d'inversion de PascalOn pose \(\forall n \in \mathbb{N}, a_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_k \mathrm{\ avec \ } \displaysty…
Published	01/28/2025	Formule intégrale de CauchySoit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_n z^n\) une série entière de rayon de convergence \(R \in ]0, +\…
Published	01/28/2025	Théorème de LiouvilleSoit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(+\infty\) dont…
Published	02/01/2025	Nombre de dérangements. Soit \(n \in \mathbb N \backslash \{0\}\). On note \(D_n\) le nombre de dérangements de \(S_n\) …
Published	01/28/2025	Formule intégrale de Cauchy. Soit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R \in …
Published	01/28/2025	Soit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R \in ] 0, +\infty]\) dont on note&…
Published	01/28/2025	Théorème de Liouville. Soit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_n z^n\) une série entière {{c1::de rayon de convergence \(+\inf…
Published	01/28/2025	Soit \(R \in ] 0, + \infty]\). Montrer que si \(f = \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nx^n\) est développable en série entière sur&n…
Published	02/04/2025	Sommes de Newton : Soit \((x_1, ..., x_n) \in \mathbb C^n\). On pose \(\forall p \in \mathbb N, S_p = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^p\…
Published	01/28/2025	Soit \(f \in \mathrm C^\infty( [0, R[,\mathbb R)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N, f^{(n)} \geqslant 0\). Montrer que \(f\)&n…
Published	01/28/2025	Soit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n\) une série entière, notée \(S\), de rayon de convergence \(R > 0\). On suppo…
Published	01/28/2025	Montrer que \(\tan \) est développable en série entière sur \(\left]-\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right[\).{{c1::On montre par récurrence…
Published	01/28/2025	Nombre d'involutions. On note \(u_n\) le nombre d'involutions de \(S_n\). Montrer que \(\forall n \in \mathbb N, u_n = \displ…
Published	01/28/2025	Chemins de Dyck et nombres de Catalan. On appelle chemin de Dyck de taille \(n\) une famille \((u_i)_{i \in [\![1, n]\!] } \in \{-…
Published	01/28/2025	Chemins de Dyck et nombres de Catalan. On appelle chemin de Dyck de taille \(n\) une famille \((u_i)_{i \in [\![1, n]\!] } \in \{-…
Published	01/28/2025	Théorème taubérien faible. Soit \(S(x) = \displaystyle \sum_{n\geqslant 0} a_nx^n\) une série entière de rayon de convergence \(1\…
Published	01/29/2025	Principe du maximum. Soit \(f\) une série entière de rayon de convergence \(R\). Soient \(\omega \in \mathbb C\) et&nbsp…
Published	02/01/2025	Inverse d'une fonction développable en série entièreSoit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \alpha_n z^n\) et \(\displaystyle \sum_{n…
Published	01/28/2025	Soit \(R \in \mathbb R_+^*\). Soit \(E\) l'ensemble des fonctions de \(\mathrm C^0(\mathrm B_f(0, R), \mathbb C)\) développab…
Published	01/28/2025	Formule de Parseval. Soit \(S(z) = \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R \in ]…
Published	02/21/2025	Soit \(S(z) = \displaystyle \sum_{n =0}^{+\infty} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R \geqslant 1\). On suppose que&…
Published	01/28/2025	Calcul de \(\zeta(2)\). Montrer que \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6\).{{c1::\(\forall t \in [0, 1[, \ar…
Published	01/28/2025	Montrer que \(\tan\) et \(x \mapsto \frac 1 {\cos(x)}\) sont développables en série entière.{{c1::On pose \(u_0 = u_1 = 1\)&n…
Published	02/07/2025	Nombre de Bell. On note \(B_n\) le nombre de partitions d'un ensemble à \(n\) éléments (et \(B_0 = 1\)). Montrer que&nbs…
Published	02/18/2025	Nombres de Bell. On note \(B_n\) le nombre de partition d'un ensemble à \(n\) éléments (et \(B_0 = 1\)). Montrer que&nb…
Published	01/28/2025	Principe des zéros isolés. Soit \(R \in ]0, +\infty ]\). Soit \(n_0 \in \mathbb N \backslash\{0\}\). Soit \(g = z^{n_0} \displayst…
Published	01/28/2025	Principe des zéros isolés. Soit \(R \in ]0, +\infty ]\). Soit \(f\) une fonction non identiquement nulle développable en série ent…
Published	01/28/2025	Soit \((a_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathbb C^\mathbb N\) telle que \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} na_n\) converge absolument…
Published	02/04/2025	Les fonctions dérivables au sens complexe sont développables en série entière. Soit \(f : \mathrm B(0, R) \to \mathbb C\) une fonction …
Published	02/05/2025	Soit \(S\) une série entière de rayon de convergence \(+\infty\) qui ne s'annule pas sur \(\mathbb C\). Montrer qu'il existe …
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