Notes in Mathematik::Analysis 3

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Verständnis

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Published	11/27/2024	Die Funktion \(f\) kann aufgeteilt werden in Real-und Imaginärteil \(f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\)Wie lautet das Kurvenintegral \(…
Published	11/12/2024	Wie ist die Stammfunktion \(F(z) \) einer Funktion \(f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\) definiert?
Published	11/12/2024	Ist jede Stammfunktion \(F(z)\) einer komplexen Funktion \(f(z)\) holomorph?Erinnerung: Def. Stammfunktion:\(F(z)=F(x+iy)=\varphi(…
Published	11/12/2024	Welche Bedingungen müssen gelten, sodass eine komplexe Funktion \(f:\Omega\rightarrow\mathbb C\) eine Stammfunktion hat?
Published	11/12/2024	Ist die komplexe Exponentialfunktion injektiv?Wenn nein: Gib die Periodizität an (d.h. was müsste gelten für \(z\) und \(w\) damit…
Published	11/12/2024	Was ist die "geschlitzte Ebene" \(\mathbb C^-\)?
Published	11/12/2024	Wie ist der Hauptzweig des komplexen Logarithmus definiert?Wie sieht es in Polardarstellung aus?
Published	11/12/2024	Wie sind die zwei Zweige der komplexen Wurzel definiert?
Published	11/12/2024	Definition.Holomorph - wann wird eine Funktion \(f: \Omega \to \mathbb C\) holomorph auf dem Gebiet \(\Omega\) genannt?
Published	11/12/2024	Satz zu CR-DGL.Die komplexe Funktion \(f:\Omega\to \mathbb C, (x+iy)\mapsto u(x,y)+iv(x,y)\), \(u,v:G\subset\mathbb R^2\to\mathbb R,\) …
Published	11/12/2024	Was bilden die komplexen Zahlen \(\mathbb C\) mit dem Betrag \(\|z\|\overset{\text{Def.}}{=}\sqrt{z^\cdot z}\) ?(\(z^\in\mathbb C\…
Published	11/12/2024	Wie genau sieht der Betrag\[\|z\|=\sqrt{z^\cdot z}\]einer komplexen Zahl \(z=x+iy\) aus?(\(z^\in\mathbb C\) ist die komplex konjugierte…
Published	11/12/2024	Wie genau sieht sie komplex konjugierte \(z^*\) der komplxen Zahl \(z=x+iy\) aus?\((x,y\in\mathbb R)\)
Published	11/12/2024	Setze das richtige Relationszeichen. \[\|z\|\dots\|\text{Re}(z)\|\]\[\|z\cdot w\|\dots\|z\|\cdot\|w\|\]\[\|z\|\dots\|\text{Im}(z)\|\]\(\forall\,z,w\in\mathbb C…
Published	11/12/2024	Definition. Offene Kreisscheibe mit Radius \(r\) um den Punkt \(z_0\in\mathbb C\)
Published	11/12/2024	Definition. Abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius \(r\) um den Punkt \(z_0\in\mathbb C\)
Published	11/12/2024	Definition Potenzreihe.Sei \((a_n)_{n\in\mathbb N_0}\) und \(z_0\in\mathbb C\). Wie schaut die Potenzreihe \(P(z)\)&nbsp…
Published	12/02/2024	Was versteht man unter Konvergenzradius \(R\) im Kontext von Potenzreihen?
Published	11/12/2024	Was bedeutet ein Konvergenzradius \(R=0\)?Was bedeutet \(R=\infty\)?
Published	11/12/2024	Was gilt für den Rand des Kovergenzradius'?Welche allgemeinen Aussagen sind möglich?\((R=\|z-z_0\|)\)
Published	11/12/2024	Definition absolute Konvergenz einer Potenzreihe \(P(z)\). \(P(z)\) ist absolut konvergent  \[\Longleftrightarrow\]
Published	11/16/2024	Definition.  Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe \(P(z):=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n\). Sei \(s_m…
Published	11/12/2024	Wie lautet die Formel für den Konvergenzradius \(R\) der Potenzreihe \(P(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(z-z_0)^n\) mit …
Published	11/12/2024	Wie lautet die Formel für den Konvergenzradius \(R\) der Potenzreihe \(P(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(z-z_0)^n\) mit …
Published	11/12/2024	Was gilt bezüglich des Konvergenzradius' \(R\), wenn für fast alle \(n\in\mathbb N_0\) die Koeffizientenfolgen zweier Potenzreihen…
Published	11/12/2024	Definition bestimmt divergent.Wann heißt eine Potenzreihe \(P(z)\) bestimmt divergent?Bonus [empfehlenswert 1x zu lesen]: Wie war …
Published	11/12/2024	Definition Stetigkeit.Sei \(f:\Omega\backslash{z_0}\to\mathbb C\) eine (komplexe) Funktion. Formuliere die Stetigkeitsbedingu…
Published	11/12/2024	Es gelte: \(\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=w\) und \(\lim\limits_{z\to z_0}g(z)=u\).Was gilt für folgende Ausdrücke?\[\lim_{z\to z_0}\big(\…
Published	11/12/2024	Definition komplexe Differenzierbarkeit.Sei \(\Omega \subseteq\mathbb C\) ein Gebiet und \(a\in\Omega\). Dann heißt…
Published	11/12/2024	Setze Folge- oder Äquivalenzpfeil zur komplexen Differenzierbarkeit.A. Sei \(f:\Omega\to\mathbb C\) komplex differenzierbar i…
Published	11/12/2024	Folgerungen zur komplexen Differenzierbarkeit.Sei \(f,g:\Omega\to\mathbb C\) komplex differenzierbar in \(a\in\Omega\).G…
Published	11/12/2024	Folgerungen zur komplexen Differenzierbarkeit.Kettenregel.Sei \(g:\Omega_1\to\mathbb C\) mit \(g(\Omega_1)\subseteq\Omega_2\)…
Published	11/12/2024	Definition. Kompakte MengeBonus: Warum muss eigentlich beides erfüllt sein?
Published	11/12/2024	Bonus:Definition. Nullfolgenkriteruim Bonus: Definition Nullfolge
Published	11/12/2024	Bonuskarte:Cauchy-Kriterium (für Reihen)Eine Reihe \(\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i\) konvergiert, genau dann wenn:\(\forall\,{\varepsilon&gt…
Published	11/12/2024	Definition. Majorantenkriterium (für Reihen)Sei \[S=\sum_{i=0}^{\infty}a_n,\]so lässt sich eine konvergente Folge \[T=\sum_{i…
Published	11/23/2024	Bonus. Was zeigt das Minorantenkriterium?Was hat es mit dem Majorantenkriterium zu tun?
Published	11/12/2024	Satz. Sei \(f_n:\Omega\to\mathbb C\) eine Folge stetiger Funktionen, die kompakt konvergent gegen \(f:\Omega\to\mathbb C…
Published	11/16/2024	Definition. Kompakte Konvergenz. Eine Funktionenfolge \(f_n:\Omega\to\mathbb C,\,\)\((n\in \mathbb N;\,f_n\to f,n\to \infty)\) ste…
Published	11/12/2024	Definition. Punktweise Konvergenz.Sei \(f_n:\Omega\to \mathbb C\) eine Funktionenfolge.\(f_n\) ist punktweise konvergen…
Published	11/12/2024	Definition.(Stückweise) glatte Kurve.\(\gamma:[a,b]\to\Omega\) heißt (stückweise) glatt, genau dann wenn
Published	11/12/2024	Wie ist der Tangentialvektor einer \(\mathcal C^1\)-Kurve \(t \mapsto z(t)\), die auf einem Intervall \(I \subseteq \mathbb R\) de…
Published	11/12/2024	Wie kann das Integral von stückweise stetigen Funktionen über ein reelles Intervall \([a, b]\) auf den Fall komplexwertiger Funktionen …
Published	11/12/2024	Definition (komplexe Kurvenintegrale) Wie ist das komplexe Kurvenintegral einer stetigen Funktion \(f: \Omega \to \mathbb C\) entlang e…
Published	11/12/2024	Nenne Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale:
Published	11/12/2024	Satz.Sei \(f(z):=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k\) kompakt konvergent auf \(K_R(z_0)\).Welchen Konvergenzradius \(R'\) …
Published	11/12/2024	Was haben die zwei Eigenschaften holomorph und analytisch miteinander zu tun?
Published	11/12/2024	Wie kann der Identitätssatz für analytische Funktionen direkt übertragen werden?Lies und verstehe die Rückseite!
Published	11/12/2024	Definition. Wann wird eine Funktion \(f:\Omega\to\mathbb C\) analytisch genannt?
Published	11/12/2024	Satz. Welche Eigenschaft haben analytische Funktionen bezüglich (komplexer) Diff'barkeit?\(f\in\mathcal A\,\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow\,…
Published	11/12/2024	Folgerung zum Identitätssatz.Überlege Dir, weshalb eine analytische Funktion \(f:\Omega\to\mathbb C,\) \(f\) nicht die Nullfunktion, in…
Published	11/12/2024	Integralsatz v. Cauchy (Homologie & Homotopie).Sei \(f\) auf einem Gebiet \(\Omega \) holomorph und sei \(\gamma\)&n…
Published	11/12/2024	Definition. Sei \(\gamma \) eine Kurve auf \(\Omega\). Wie wird \(\gamma \) genannt, wenn \(\gamma\) in e…
Published	12/03/2024	Was bedeutet eigentlich...  "holomorph"...also wortwörlich und etymologisch?
Published	11/12/2024	Was bedeutet eigentlich..."homotopie"...also wortwörlich?
Published	11/12/2024	Wie können die reellen \(\sin\)- und \(\cos\)-Funktionen analytisch auf \(\mathbb C \to \mathbb C\) fortgesetzt werden?Bonus:…
Published	11/12/2024	Wie sieht die Reihen-Entwicklung des Hauptzweig des Logarithmus und wann gilt sie?
Published	11/12/2024	Satz ("Umkehrung des Cauchy'schen Integralsatzes")Sei \(f: \Omega \to \mathbb C\) stetig auf dem Gebiet \(\Omega\) mit der Eigensc…
Published	11/12/2024	Konvergenzsatz von WeierstraßIst die Folge \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) von holomorphen Funktionen auf dem Gebiet \(\Omega\) kompak…
Published	11/30/2024	Definition.Wann heißen zwei geschlossene Wege \(\gamma_1,\gamma_2:[a,b]\to\Omega\) homolog?
Published	11/12/2024	Definition.Was bedeutet es für zwei Kurven \(\beta,\gamma:[a,b]\to\Omega\) homotop (bei festen Endpunkten) zu sein?
Published	11/12/2024	Definition.Was bedeutet es für zwei geschlossene Kurven \(\beta,\gamma:[a,b]\to\Omega\) frei homotop zu sein?
Published	11/12/2024	Cauchy'sche Integralformel für Kreise und einfach positiv umlaufende Wege. Ist \(f\) holomorph auf dem Gebiet \(\Omega,z_0\in…
Published	11/12/2024	Bonus!! Satz von Fubini (für Reihen und Integrale): Sei  \(f: \mathbb{N} \times X \to \mathbb{C}\) eine messbare Funktion a…
Published	11/12/2024	Sei eine Laurent-Reihe gegeben.Was muss für einen Kreisring \(\set{z\in\mathbb C:r_1\le\|z-z_0\|\le R_1}\subseteq\Omega\) gelten, damit die LR…
Published	11/12/2024	Laurent-Reihen. Wie bestimmst Du bei gegebenem \(f:\Omega\to\mathbb C\) die Laurent-Reihen-Koeffiziente \(a_n\)?Bonus:Was gil…
Published	11/12/2024	Satz.  Was muss für eine Funktion \(f\) gelten, damit sie als Laurent-Reihenentwicklung darstellbar ist?
Published	12/02/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Sei \(z_0\) eine isolierte Singularität der Funktion \(f\). Sei&nb…
Published	11/12/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Sei \(z_0\) eine isolierte Singularität der Funktion \(f\). Sei&nb…
Published	11/12/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Sei \(z_0\) eine isolierte Singularität der Funktion \(f\). Sei&nb…
Published	11/12/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Sei \(g\) holomorph in der Kreisscheibe \(\|z-z_0\|<R\)&nbsp…
Published	11/12/2024	Kriterien für verschiedene Arten von isolierten Singularitäten. Der Hauptteil um eine wesentliche Singularität muss unendlich viele&nbs…
Published	11/12/2024	Bonus. Definition.Wie ist die p-Norm definiert \(\Vert x\Vert_p\) eines Vektors \(x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n\…
Published	11/12/2024	Definition.Was bezeichnet \(L^p(\Omega\subseteq\mathbb K^n)\)?\(\mathbb K\in\set{\mathbb R,\mathbb C}\)
Published	11/27/2024	Fouriertransformation für \(L^1\)-Funktionen.  Sei \(u\in L^1(\mathbb R^n)\) und \(x,y\in\mathbb R^n\) …
Published	11/12/2024	Was gilt für:\[\widehat{\left(\frac 1i u'\right)}(y)=\dots\]\((u\in L^1(\mathbb R)\cap C^1(\mathbb R))\)Im Ortsraum ist die Ableitung von \(u\)&n…
Published	11/12/2024	Ableitungs- und Multiplikationsoperatoren.Sei \((Qu)(x):=xu(x) \) und \((Pu)(x):=\frac 1iu'(x)\).Wie lassen sich zwei Relationen daraus…
Published	11/12/2024	Ableitungs- und Multiplikationsoperatoren.Wie lautet das \(n\)-Dimensionale Analogon von:\((Qu)(x):=xu(x) \) und \((Pu)(x):=\frac 1iu'(…
Published	11/12/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[x^\alpha:=?\]Wie schaut dieses Polynom aus? Welche Ordnung hat dieses Polynom?
Published	11/12/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[\alpha:=?\]Wie schaut dieser Audruck aus?
Published	11/12/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[\|\alpha\|:=?\]Wie schaut dieser Audruck aus?
Published	11/12/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[P^\alpha:=?\]Wie schaut dieser Audruck aus?
Published	11/12/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[Q^\alpha:=?\]Wie schaut dieser Audruck aus?
Published	11/12/2024	Ableitungs- und Multiplikationsoperatoren.Wie lauten die Austauschformeln in Multiindex-Notation?(Denk an 1D)
Published	11/12/2024	Ableitungs- und Multiplikationsoperatoren.Was gilt für den Laplace-Operator \(\Delta\) im Folgenden?\[\widehat{(-\Delta u)}(y)=\dots\]
Published	11/12/2024	Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \(L^1\).Sei \(\braket{f,g}:=\int fg\)Was gilt dann für \(\braket{\widehat u,v}:=\int\wideh…
Published	11/12/2024	Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \(L^1\).Skalierungen \((S_\lambda u)(x):=u(\lambda x),\,\lambda >0\).Was gilt für \(\wi…
Published	11/12/2024	Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \(L^1\).Sei \(u\in L^1(\mathbb R^n)\) der Form \(u(x_1,\dots,x_n)=u_1(x_1)\cdots u_n(…
Published	11/12/2024	Satz.Formuliere den Umkehrsatz der Fouriertransformierten \(\widehat u(x)\) einer \(L^1\)-Funktion \(u\). Bonus: Was folgt au…
Published	11/12/2024	Verständnisfrage.Was für eine Art von Abbildung ist die Fouriertransformation von Funktionen des Lebesgue-Raums \(L^p\)?
Published	11/12/2024	Was versteht man unter einer Laurent-Reihe?
Published	11/12/2024	Was gilt für folgendes Residuum, wenn \(z_0\) isolierte Singularität von sowohl der Funktion \(f\) als auch \(g\) ist un…
Published	11/12/2024	Umkehrsatz für Schwartzfunktionen.Die Fouriertransformation \(\mathcal F: \mathscr S(\mathbb R^n) \to \mathscr S(\mathbb R^n), u \mapsto \widehat…
Published	11/12/2024	Wie sehen folgende Fouriertransformationen aus für \(u, v \in \mathscr S\)?\[\widehat{uv} = \ldots\]\[\hat u \hat v = \ldots\]
Published	11/12/2024	Satz von Plancherel. Die Fouriertransformation lässt sich ausdehnen zu einem unitären Operator \(\mathcal F: L^2(\mathbb R^n) \to L^2(…
Published	11/12/2024	Distributionen. Es gilt: \(\varphi(0)=\braket{u,\varphi}\) \(\forall\,\varphi\in\mathcal S\) Was ist \(u\)? Warum?(läng…
Published	11/12/2024	Definition. Testfunktion im Kapitel zu Distributionen.Wann heißt eine Funktion \(\varphi\) Testfunktion?
Published	11/12/2024	Definition. Vektorraum aller Testfunktionen\(\mathscr D(\Omega):=\dots\)
Published	11/12/2024	Definition. Konvergenz von Folgen von Testfunktionen \((\varphi_k)\).Wann heißt eine Folge von Testfunktionen \((\varphi_k)\) auf …
Published	11/12/2024	Definition Distribution. Eine Distribution (oder verallgemeinerte Funktion) auf \(\Omega\) ist ein...("wörtlich")
Published	11/12/2024	Definition Distribution. Eine Distribution \(U\) (oder verallgemeinerte Funktion) auf \(\Omega\) ist ein stet…
Published	11/13/2024	Bemerkung.Was folgt aus der Stetigkeitsbedingung an Distributionen \(U:\mathscr D(\Omega)\to\mathbb C,\varphi\mapsto\braket{U,\varphi}\)?Stetigke…
Published	11/12/2024	Bemerkung. Was fehlt in der Definition einer Distribution, damit die Menge aller Distributionen \(\mathscr D'(\Omega)\) einen Vek…
Published	11/12/2024	Definition.Wann heißt eine Folge von Distributionen \((U_k)_{k\in\mathbb N}\) auf \(\Omega\) konvergent gegen die Distri…
Published	11/12/2024	Definition. Wie ist die Differentiation von Distributionen in einer Dimension definiert?Sei \(f\in\mathcal C^1(\mathbb R)\subseteq L_\…
Published	11/12/2024	Definition.Wie ist die Differentiation von Distributionen allgemein definiert?Sei \(f\in\mathcal C^m(\mathbb R^n),\) \(\alpha\in\mathbb N_0^…
Published	11/12/2024	Definition. Wie ist die Ableitung \(\partial^\alpha U\in\mathscr D'\) für \(\alpha\in\mathbb N_0^n\) von Distributionen…
Published	11/12/2024	Definition.Diffeomorphismus (kurz Diffeo.)1. Was für eine Struktur ist ein Diffeo?2. Wie ist diese genau definiert?
Published	11/12/2024	Definition.Diffeomorphismus in Worten.
Published	11/12/2024	Wie sieht die Wellengleichung in 1-D aus?
Published	11/27/2024	Wie sieht die Wärmeleitungsgleichung in 1-D aus?
Published	11/12/2024	Bonus.    Wie verwendest Du die DI-Method? (partielle Integration auf Steroiden)\[\int u\cdot v\]
Published	11/12/2024	Auffrischung Fourierreihen. Grundidee einer Fourierreihe.QuantitativSei \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) eine \(T\)-periodi…
Published	11/16/2024	Auffrischung Fourierreihen. Grundidee einer Fourierreihe.QuantitativSei \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) eine \(T\)-periodi…
Published	11/16/2024	Green'sche Darstellungsformel.Anwendung auf Dirichletproblem:\(-\Delta u=f\) in \(\Omega\) und \(u=g\) auf \(\parti…
Published	11/16/2024	Green'sche Darstellungsformel.Anwendung auf Neumannproblem:\(-\Delta u=f\) in \(\Omega\) und \(\partial_{\vec n}u=g\) au…
Published	11/16/2024	Eigenwertprobleme. \(-\Delta v=\lambda v\) \(\text{in }\Omega,\) \(v=0\) \(\text{auf }\partial\Omega\)Für beschränke \(\…
Published	11/25/2024	Längere Verständniskarte.Beschreibe die Idee hinter der Variationsmetheode des Dirichlet-Problems.\[-\Delta u=f\]\(\text{in }\Omega,\) …
Published	11/30/2024	Welche Äquivalenzen gelten beim Dirichlet-Problem mit Randwert \(0\)? \[-\Delta u=f\]\(\text{in }\Omega,\) \(u=g\) \(\text{auf }\p…
Published	11/24/2024	Definition. Schwache Lösung.
Published	11/27/2024	Definition.  Sei \(c>0\) konstant und \(\Box:=\partial _t^2-c^2\Delta\) der \(\textit{d'Alembert-Operator}\).&nb…
Published	11/30/2024	Folgerung.Sei \(u:\mathbb R\times(0,\infty)\to \mathbb R\) so, dass \(\Box u=0\) erfüllt (\(u=u(x,t)\)).Da hier der 1-D Fall betra…
Published	11/27/2024	d'Alembert-Formel. \[\Box u=0\;\;\;\text{in }\mathbb R\times(0,T)\]\(u(x,0)=u_0(x)\)\(\partial_tu(x,0)=u_1(x)\)\((x\in\mathbb R^n)\)Wie lau…
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