Notes in Réduction des endomorphismes

To Subscribe, use this Key

Status	Last Update	Fields
Published	01/28/2025	On suppose que \(M \in \mathrm{M_n}(\mathbb{Z})\) admet un inverse dans \(\mathrm{M_n}(\mathbb{Z})\). Montrer que \({{c1::\det(M) …
Published	01/28/2025	Soit \(M \in \mathrm{M_n}(\mathbb{Z})\). On suppose que \(\det(M) \in \{-1,\ 1\}\). Montrer que {{c1::\(M\) admet un inverse dans …
Published	01/28/2025	Matrice à diagonale strictement dominanteSoit \(A = ((a_{i,j}))_{1\leqslant i, j \leqslant n} \in \mathrm{M_n}(K)\) telle que \(\forall…
Published	01/28/2025	Déterminant par blocs (On suppose : \(CD=DC\) et \(D\) inversible)On a : \(\begin{pmatrix}A&B \\ C&D\end{pmatri…
Published	01/28/2025	Déterminant par blocs (On suppose : \(CD = DC\)){{c1::\(\det\begin{pmatrix}A&B \\ C&D-\frac{1}{p}I_n\end{pmatrix} = \det(A(D-\frac{…
Published	01/28/2025	Soit \(M, N \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})\), semblables dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\). Montrer qu'elles sont semblables dans \(\math…
Published	01/28/2025	endomorphisme stabilisant toutes droites{{c2::\(\forall \vec x \in E\ \backslash\ \{\vec 0\},\ \mathrm{Vect}(\vec x)\) est stable par \(f\),…
Published	01/28/2025	Matrices compagnons : définitionLa matrice compagnon associée au polynôme \(P = {{c1::X^n + \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_iX^i}}\) est&nb…
Published	01/28/2025	Matrices compagnons : polynôme caractéristiqueOn a \(C_P = \begin{vmatrix}0&1&0&\cdots &0 \\ \vdots& \ddots & \ddots &am…
Published	01/28/2025	Matrices compagnons : Espaces propres\[\forall \lambda \in \mathrm{Sp}_K(C_P),\ \mathrm{Ker}(C_P-\lambda I_n) = {{c1::\mathrm{Vect}_K \begin{pmatrix}1…
Published	01/28/2025	Centre de \(\mathrm{GL}_n(K)\) : \(Z(\mathrm{GL}_n(K)) = \{A \in \mathrm{GL}_n(K)\ \|\ \forall M \in \mathrm{GL}_n(K), AM = MA\} \)Soit&…
Published	01/28/2025	Décomposition OT.Soit \(A \in GL_n(\mathbb R)\).Il existe {{c1::\(O \in O_n(\mathbb R)\) et \(T \in M_n(\mathbb R)\) triangulaire …
Published	01/28/2025	Inégalité de HadamardSoit \(A = M_{\mathcal B_{can} }(C_1, \cdots, C_n)\). Alors \({{c1::\|\det(A)\| \leqslant \displaystyle \prod_{i=1}^n \\|C…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in S_n^+(\mathbb R)\). {{c1::Il existe une unique matrice \(R \in S_n^+(\mathbb R)\) telle que \(A = R^2\)}}.Démons…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in A_n(\mathbb R)\).Les valeurs propres de \(A\) sont {{c1::des imaginaires purs}}.Démonstration :Soient \(\lambda \in S…
Published	01/28/2025	Fonction de Möbius. On pose \(\mu(n) = 0\) si \(n\) est divisible par un carré non trivial, et \(\mu(n) = (-1)^r\) …
Published	01/28/2025	Montrer que \({{c3::\varphi(n) = \displaystyle \sum_{d\|n} \mu(d) \frac n d}}\), où \(\varphi\) est la fonction d'Euler et \(\mu\)&…
Published	01/28/2025	Soit \(\forall n \in \mathbb N, b_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a_k\). Montrer que \(\forall n \in \ma…
Published	01/28/2025	Dénombrer le nombre le surjection de \([\![ 1, n ]\!]\) dans \([\![ 1, k ]\!]\), qu'on note \(s_{n, k}\).{{c1::Pour définir une ap…
Published	01/28/2025	Calculer le déterminant de \(A = \begin{pmatrix} a & c & \cdots & c \\ b & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddot…
Published	01/28/2025	Matrice tridiagonale. Donner les éléments propres de \(\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & \cdots & 0 \\ \gamma & \alph…
Published	01/28/2025	Lemme du KK. Soit \(A \in \mathrm M_2(\mathbb Z)\) telle qu'il existe \(n \geqslant 1\) tel que \(A^n = I_2\). Montrer q…
Published	02/01/2025	Soit \(E\) de dimension finie non nulle \(n\). Soient \(f_1, ..., f_n\) des endomorphismes nilpotents qui commutent deux à de…
Published	01/28/2025	Soit \(p \in \mathbb P\). Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb Z/p\mathbb Z) \). Montrer que {{c3::\(A^p = A\)}} si et seulement si {{c2::\…
Published	01/28/2025	Trouver \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb R)\) telle que \(A^3 - 4A^2 + 4A = 0\) et \(\mathrm{tr}(A) = 0\).{{c1::\(X(X-2)^2\)&nbsp…
Published	01/28/2025	Soit \((f, g) \in L(E)^2\) où \(E\) est un \(\mathbb C\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. On suppose que \…
Published	01/28/2025	Racine carrée de la dérivation. Soit \(d\) l'endomorphisme de \(\mathrm{C}^\infty(\mathbb R, \mathbb C)\) défini par \(f…
Published	01/28/2025	Soit \(E\) un \(\mathbb K\)-espace vectoriel de dimension finie. Soit \(u \in \mathrm{L}(E)\). On suppose \(\mathrm{Im}(u^2) …
Published	01/28/2025	Soient \(E\) de dimension finie et \(u \in \mathrm{L}(E)\). Montrer que \(\delta_k = \mathrm{rg}(u^k) - \mathrm{rg}(u^{k+1})\)&nbs…
Published	01/28/2025	Soient \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb C)\) et \(M = \begin{pmatrix} A & 0_{\mathrm{M}_n(\mathbb C)} \\ A & A\end{pmatrix}\). Mont…
Published	01/28/2025	Soit \(P = X^n + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a_kX^k \in \mathbb C[X]\). Montrer que si \(\lambda \in \mathbb C\) est une racine de&n…
Published	01/28/2025	Soit \(f\) un endomorphisme cyclique de \(E\). Montrer que tout endomorphisme \(g\) de \(E\) qui commute avec …
Published	01/28/2025	Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\). Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) cyclique. Montrer que…
Published	01/28/2025	On pose \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathrm{M}_n(\mathbb C) \) engendré par les matrices nilpotentes. Montrer que \(F…
Published	01/28/2025	Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soit \(f \in \mathrm{L}(E)\). Montrer que \(f\) est diagonalisab…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb R)\) et soit \(\lambda \in \mathrm{Sp}_\mathbb C(A)\). Montrer que \(\bar \lambda\) est une…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb R)\). On suppose que toutes les valeurs propres réelles de \(A\) sont positives. Montrer que \(\…
Published	01/28/2025	On suppose \(E\) de dimension finie \(n \geqslant 2\). Soit \(f\) un endomorphisme de rang \(1\). Montrer que \(f\)…
Published	01/28/2025	Soient \(f \in \mathrm L(\mathbb C^n)\) et \(k \in \mathbb N \backslash\{0, 1\}\). On suppose que \(f^k \) est diagonalisable…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). On pose \(B = (\mathrm{com}(A))^\top\). Soient \(\lambda \in \mathbb C\) et \(X \in \m…
Published	01/28/2025	Soit \((A, B) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb C)\). On pose \(M= \begin{pmatrix} 0 & B \\ A & 0 \end{pmatrix}\). Montrer que \(M\)&nb…
Published	01/28/2025	On suppose que \(\mathbb Q \subseteq \mathbb K\) et que \(E\) est de dimension finie. Soient \(f\) et \(g\) da…
Published	01/28/2025	Soit \(M \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). On pose \(\begin{array}{} \varphi_M : & \mathrm M_n (\mathbb R) & \to & \mathrm M_n(\math…
Published	01/28/2025	Soit \(G\) un sous-groupe commutatif fini \(p \) de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\). Montrer qu'il existe \(P \in \mathrm {…
Published	01/28/2025	Soit \(M \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que si \(M\) et \(2M\) sont semblables, alors \(M\) est nilpotente.{…
Published	01/28/2025	Soit \(M \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que \(M\) est nilpotente si et seulement si \(\forall k \in \mathbb N\backslash \{0…
Published	01/28/2025	Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle \(n\). Soit \(f \in \mathrm L(E)\). Montrer que \(f\) admet&…
Published	01/28/2025	Soient \(A, B\) deux matrices de \(\mathrm M_n(\mathbb K)\) diagonalisables. Montrer que \(\varphi : M \mapsto AM-MB\) e…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). On suppose que \(\varphi_A : M \mapsto AM - MA\) est diagonalisable. Montrer que \(A\)&nbsp…
Published	01/28/2025	Soient \(E\) de dimension finie. Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) nilpotent d'indice de nilpotence \(n = \dim(E…
Published	01/28/2025	On suppose \(E\) de dimension finie. On suppose que \(\pi_f = \displaystyle \prod_{i=1}^k(X - \lambda_i)^{\alpha_i}\) est scindé.…
Published	01/28/2025	Soient \(A\) et \(B\) des matrices de \(\mathrm M_n(\mathbb R)\) diagonaliables telles que \(A^3 = B^3\). Montrer q…
Published	01/28/2025	Théorème de Burnside. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\) tel qu'il existe \(r \in \mathbb N\)&nbs…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb Z[X]\) un polynôme unitaire. On note \(\lambda_1, \cdots, \lambda_n\) ses racines complexes. Montrer que&nbsp…
Published	01/28/2025	Théorème de Kronecker. Soit \(P \in \mathbb Z[X]\) un polynôme unitaire. On note \(\lambda_1, \cdots, \lambda_n\) ses racines comp…
Published	01/28/2025	Extraction de racines \(k^{es}\). Soit \(k \in \mathbb N\backslash\{0\}\). Soit \(M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb C)\), il existe \(A …
Published	01/28/2025	Lemme de Schur. Soit \(E\) un \(\mathbb C\)-espace vetoriel de dimension finie. Soit \(Q \subseteq \mathrm L(E)\) irrédu…
Published	01/28/2025	Diagonaliser \(C(a_0, \cdots, a_{n-1}) = \begin {pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_0 & a_1 &…
Published	01/28/2025	Quelques propriétés sur le spectre. Soient \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\) et \(\lambda_1, \cdots, \lambda_n\) ses valeurs p…
Published	02/13/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\exp(A)\) l'est.{{c1::Si&nbs…
Published	02/13/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que \(\exp(A) = \mathrm I_n\) si et seulement si \(A\) est diagonalisable et&n…
Status	Last Update	Fields