Notes in Arithmétique

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Published	01/28/2025	Isomorphisme réciproque du théorème chinoisSi \(um + vn = 1\), alors \(\Phi^{-1}(a \mathrm{\ mod\ } m,\ b \mathrm{\ mod\ } n) = {{c1::avn + …
Published	01/28/2025	Montrer que \(\displaystyle \sum_{d\ \|\ n} \varphi(d) = n\).On note \(\mathcal{O}_d\) {{c1::l'ensemble des éléments d'ordre \(d\)&…
Published	01/28/2025	\[{{c1::\nu_p(n!)}} = {{c2::\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac n {p^k} \right\rfloor }}\]Démonstration :\({{c1::\nu_p(n!)}} = {{c3:…
Published	01/28/2025	Soit \(x = \frac p q \in \mathbb Q\) un entier algébrique. Alors {{c1::\(x \in \mathbb Z\)}}.On a : \({{c1::\frac {p^n}{q^n} + \display…
Published	01/28/2025	Soit \(p\) un nombre premier impair. Pour tout \(y \in \mathbb Z\), \({{c1::y^{\frac {p-1} 2} \equiv 1 \mathrm {\ mod\ } p}} \Left…
Published	01/28/2025	Soient \(K \subset L \subset M\) trois corps tel que {{c1::\(M\) est de \(K- \)dimension finie}}. Alors \({{c1::\dim_K(M) = \…
Published	01/28/2025	Théorème de Wilson : Pour tout nombre premier p, {{c1::\((p-1)! \equiv -1 \mathrm {\ mod\ } p\)}}. On a {{c1::\(X^{p-1} - 1 = \displaystyle …
Published	01/28/2025	Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p \equiv 1 \mathrm {\ mod\ } 4\). Alors il existe \(s \in \mathbb Z\) tel que \(s…
Published	01/28/2025	Soit \(p\) un nombre premier. Alors \((X+\bar 1)^p = X^p + \bar 1\).On a {{c1::\(X^p - X = \displaystyle \prod_{k=0}^{p-1} (X- \bar k)\…
Published	01/28/2025	On pose \(\zeta = e^{\frac {2i\pi} p}\) et \(\tau_p = \displaystyle \sum_{n \in \mathbb Z/p \mathbb Z} \zeta^{n^2}\)où \(p \)&nbsp…
Published	01/28/2025	Anneau de Boole : Soit \(A\) un anneau tel que \(\forall x \in A, x^2 = x\). Alors \(A\) est {{c1::commutatif}}, et si \…
Published	01/28/2025	Montrer que \(A_n = \ker(\varepsilon)\) est l'unique sous-groupe de \(S_n\) de cardinal \(\frac {n!} 2\).{{c1::Pour tout 3-cy…
Published	01/28/2025	Montrer que \(y^2 = x^3 + 7\) d'inconnue\((x, y) \in \mathbb Z^2\) n'admet pas de solutions.{{c1::Si \(x\) est pair, \(y…
Published	01/28/2025	Cyclicité de \((\mathbb Z \backslash p \mathbb Z)^\times\). On pose \(N(d)\) le nombre d'éléments d'ordre \(d\) dans \((…
Published	01/28/2025	Critère de Korselt. Soient \(m, n \geqslant 2\). \({{c2::(\forall a \in \mathbb N, n \| a^m-a)}} \Leftrightarrow {{c1::(\forall p \|n, p^…
Published	01/28/2025	Nombres premiers de Mersenne. Soient \(a \geqslant 2\) et \(n \geqslant 2\). Si \(a^n - 1\) est premier, alors {{c1::\(a= 2 \…
Published	01/28/2025	Nombres premiers de Fermat. Soient \(a \geqslant 2\) et \(n \geqslant 2\). Si \(2^n + 1\) est premier, alors {{c1::\(n\…
Published	01/28/2025	Critère de Pépin. Soit \(n \in \mathbb N\). On pose \(f_n = 2^{2^n} + 1\). {{c1::S'il existe \(a \in \mathbb Z\) tel que&nbsp…
Published	01/28/2025	Soit \(z \in \mathbb C\) tel que \(\|z\| < 1\). On note \(d(n)\) le nombre de diviseurs positifs de \(n \in \mathbb N^*…
Published	01/28/2025	Soit \(n \in \mathbb N \backslash \{0, 1\}\) tel que \(\forall k \in \mathbb [\![ 1, n-1 ]\!], n\| \begin{pmatrix}{} n \\ k \end{pmatrix…
Published	01/28/2025	Montrer que le nombre de diviseurs premiers de \(n \in \mathbb N \backslash \{0\}\), noté \(r\), est inférieur ou égal à \(\frac {…
Published	01/28/2025	Soit \(n \in \mathbb N \backslash \{0, 1\}\). Montrer que \({{c1::\frac {n\ln(2)} {\ln(n) + \ln(2)} }} \leqslant \varphi(n)\).On a {{c2::\(\…
Published	01/28/2025	Soit \((a, d, n) \in (\mathbb N \backslash\{0\})^3\). On suppose \(a^d-1\) divise \(a^n-1\). Montrer que \(d\) divise&nb…
Published	01/28/2025	Soit \((a, n) \in (\mathbb N \backslash\{0, 1\})^2\). Montrer que \(2n\) divise \(\varphi(a^n+1)\).{{c1::Si on note \(k\)&nbs…
Published	01/28/2025	Soient \(\mathbb K\) un corps et \(G\) un sous-groupe fini de \((\mathbb K^*, \times)\). Montrer que \(G\) est cycl…
Published	01/28/2025	Chiffrement RSA. Soient \(p, q \in \mathbb P\) distincts, \(e \in \mathbb N\backslash\{0\}\) et \(N = pq\). On suppose q…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb Q[X]\) un polynôme irréductible. Montrer que {{c1::les racines de \(P\) dans \(\mathbb C\) sont sim…
Published	01/28/2025	L'anneau \(A[X]\) n'est pas inversible en général. Soit \(A\) un anneau commutatif intègre qui n'est pas un corps. Soit …
Published	01/28/2025	Déterminer le noyau et l'image de l'application \(\varphi : \mathbb Z/p\mathbb Z[X] \to (\mathbb Z/p\mathbb Z)^{\mathbb Z/p\mathbb Z}\) qui …
Published	01/28/2025	Les \(p\)-groupes. Soit \(p \in \mathbb P\) et \(G\) un groupe fini de cardinal \(p^\alpha\), avec \(\alpha \i…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau commutatif. Un idéal \(\mathcal P \neq A\) est dit premier si \(\forall (x, y) \in A^2, (xy \in \mathcal…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(\mathcal M \neq A\) est un idéal maximal si les seuls idéaux contenant \(\mathc…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer que si \(\mathcal M\) est maximal (les seuls idéaux qui contiennent \(\mathcal M\)&n…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau commutatif principal. Montrer qu'un idéal \(\mathcal P \neq \{0\}\) premier (\(xy \in \mathcal P \Rightarrow …
Published	01/28/2025	On dit qu'un anneau commutatif \(A\) est noethérien si tout idéal de \(A\) est engendré par un nombre fini d'éléments.Montrer que&…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb Z/p\mathbb Z[X]\). Montrer que \((P(X))^p = P(X^p)\).{{c1::On va le montrer par récurrence sur le degré de \(P\). …
Published	01/28/2025	On pose \(\mathbb Z[i] = \{x + iy \| (x, y) \in \mathbb Z^2\}\) et \(\mathbb Q(i) = \{x + iy \| (x, y) \in \mathbb Q^2\}\). Montrer que&n…
Published	01/28/2025	Montrer que \((\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^\times\) est cyclique pour \(p \in \mathbb P\) impair. {{c1::Si \(u \in \mat…
Published	01/28/2025	Montrer qu'il n'existe pas d'application \(f : \mathbb N \to \mathbb N\) telle que \(\forall n \in \mathbb N, f(f(n)) = n + \alpha\), o…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb R[X]\) scindé. Montrer que toute racine multiple de \(P'\) est aussi racine de \(P\). Soient \(\lam…
Published	01/28/2025	Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. Calculer le \(\mathrm{pgcd}\) de \(X^m - 1\) et \(X…
Published	01/28/2025	Montrer que si \(P \in \mathbb Z[X]\) est irréductible sur \(\mathbb Z[X]\), il est irréductible sur \(\mathbb Q[X]\).{{c1::Si&nbs…
Published	01/28/2025	Critère d'Eisenstein. Soit \(P = \displaystyle \sum_{i=0}^na_iX^i \in \mathbb Z[X]\). On suppose qu'il existe \(p \in \mathbb P\) …
Published	01/28/2025	Soit \(p \in \mathbb P\). Montrer que \(\Phi_p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} X^k\) est irréductible dans \(\mathbb Q[X]\).{{c1:…
Published	01/28/2025	Soit \(\mathbb K\) un corps fini de cardinal \(n\). Montrer qu'il existe un polynôme non constant de \(\mathbb K[X]\) sans ra…
Published	01/28/2025	\((\mathbb Z/2^\alpha\mathbb Z)^\times\) n'est pas cyclique si \(\alpha \geqslant 3\). {{c1::Par récurrence, \(5^{2^k} \equiv 1 + …
Published	01/28/2025	L'ensemble des nombres algébriques est un corps. Soient \(x \in \bar {\mathbb Q}\backslash\{0\}\) et \(P \in \mathbb Q[X] \backsla…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb C[X]\) un polynôme de degré \(n \in \mathbb N\backslash\{0\}\) tel que \(\forall n \in [\![ 0, n ]\!], P…
Published	01/28/2025	Théorème de Mason. Soit \(n \geqslant 3\). Montrer que si \((P, Q, R) \in \mathbb C[X]^3\) vérifie \(P^n + Q^n = R^n\) a…
Published	01/28/2025	Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que le nombre de solutions \(N\) de \(x^2 + y^2 \equiv 1 \mod p\) vaut {{c1…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb R[X]\) tel que \(P \geqslant 0\). Montrer qu'il existe \((A, B) \in \mathbb R[X]^2\) tel que \(P = …
Published	01/28/2025	Sommes de Gauß. Montrer que pour tout \(a \in \mathbb Z\) premier avec \(p \in \mathbb P\) impair, \({{c1::\displaystyle…
Published	01/28/2025	Sommes de Gauß. On pose \(S(a) = \displaystyle \sum_{\bar x \in\mathbb Z/p\mathbb Z} \exp\left(\frac {2i\pi ax^2} p\right)\). Montrer q…
Published	01/28/2025	Dénombrer les solutions de \(x^2 + y^2 \equiv 1 \mod p\). On note \(N\) le nombre de solutions.On a \(N = {{c1::\displaystyle…
Published	01/28/2025	Soit \(\alpha \in \mathbb R\) un nombre algébrique de degré \(2\). Montrer qu'il existe \(d \in \mathbb Q^+\) tel que \(…
Published	01/28/2025	Résultant de deux polynômes. Soit \((P, Q) \in \mathbb K[X]^2\) de degrés \(n\) et \(m\). On pose \(\begin{array}{c…
Published	01/28/2025	Division euclidienne dans \(\mathbb Z[i]\). Soit \((a, b) \in \mathbb Z[i] \times (\mathbb Z[i] \backslash \{0\})\). Montrer qu'il exis…
Published	01/28/2025	\(\mathbb Z[i]\) est principal. {{c1::On montre l'existence d'une division euclidienne.}}{{c1::On pose \(a \in I \neq \{0\}\) tel …
Published	01/28/2025	Lemme d'Euclide dans \(\mathbb Z[i]\). Soient \((a, b) \in \mathbb Z[i]^2\) et \(p \in \mathbb Z[i]\) un élément irréductible…
Published	01/28/2025	Existence et unicité de la décomposition en facteurs irréductibles dans \(\mathbb Z[i]\).Existence : {{c1::Soit \(a \in \mathbb Z[i] \b…
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