Notes in Topologie

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Published	01/28/2025	Intérieur d'un sous-espace vectoriel strictOn suppose que \(\mathring{F} \neq \emptyset\). Soit \(\vec{a} \in \mathring{F}\). Il existe&nbsp…
Published	01/28/2025	\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) ouvert dense dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\)\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) = {{c1::\mathrm{det}^{-1}(\mathbb{C}…
Published	01/28/2025	\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcsSoit \((M, N) \in (\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}))^2\). L'application \(\array{\mathb…
Published	01/28/2025	Norme pOn pose \(\forall p \in \mathbb{R}_+^*, \forall \vec x = (x_1, ..., x_n) \in K^n, \\|\vec x\\|_p = {{c1::\left( \displaystyle \sum_{k=1}^n \|…
Published	01/28/2025	Inégalité de HölderOn pose \(\forall p \in \mathbb{R}_+^*, \forall \vec x = (x_1, ..., x_n) \in K^n, \\|\vec x\\|_p = \left( \displaystyle \sum_{k=…
Published	01/28/2025	Montrer : \(\forall (a, b) \in K^2, ab \leqslant \frac {a^p} p+ \frac {b^q} q\). {{c1::\(\ln\) est concave : \(\forall (a, b)…
Published	01/28/2025	Norme p. Montrer que \(\\|\cdot\\|_p\) est une norme. (inégalité triangulaire)Soit \((\vec x, \vec y) \in (K^n)^2\). \[(\\|\vec …
Published	01/28/2025	Sous-groupes de \(\mathbb{R}\) denses ou monogènes{{c1::Si \(G = \{0\}\) alors \(G = 0\mathbb{Z}\). supposons \(G \neq \…
Published	01/28/2025	Soit \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\).Si \(\varphi\) est continue, alors {{c2::\(\ker(\varphi)\) est l…
Published	01/28/2025	Densité des matrices diagonalisables. Soit \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb{C})\).\[A = P\begin{pmatrix}\lambda_1 I_{\alpha_1}+N_1&\cdots&0 \…
Published	01/28/2025	Pour \(p \geqslant 1\), on pose \(\\|\vec x\\|_p = \left(\displaystyle \sum_{k=1}^n \|x_k\|^p \right)^\frac 1 p \). Montrer que \(\displays…
Published	01/28/2025	Soient \(U\) et \(V\) deux parties ouvertes et denses. Montrer que \(U \cap V\) est {{c1::un ouvert dense de \(E\)}…
Published	01/28/2025	Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb R\) et \(f : I \to \mathbb R\) une application dérivable sur \(I\). Montrer…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\) telle que \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp}(A), \|\lambda\| < 1\). Montrer que \(\displayst…
Published	01/28/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb Z)\) diagonalisable telle que \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp}_\mathbb C(A), \|\lambda\| < 1\). Mont…
Published	01/28/2025	On note \(\mathrm T_n(\mathbb R)\) l'ensemble des matrices trigonalisables de \(\mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer que \(\mathrm T_…
Published	01/28/2025	Soit \(P \in \mathbb R_n[X]\). Montrer que \(P\) est scindé sur \(\mathbb R\) si et seulement si \(\forall z \in \mathbb…
Published	01/28/2025	On note \(\mathrm D_n(\mathbb R)\) et \(\mathrm T_n(\mathbb R)\) l'ensemble des matrices diagonalisables et trigonalisables. Montr…
Published	01/28/2025	Soit \((A, B) \in (\mathrm M_n(\mathbb K))^2\). Montrer que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\).{{c1::Si \(A\) est inversible, \(ABAA^{…
Published	01/28/2025	Soit \((A, B) \in (\mathrm M_n(\mathbb K))^2\). Montrer que \(\mathrm{Com}(AB) = \mathrm{Com}(A)\mathrm{Com}(B)\).{{c1::On le montre pour&nb…
Published	01/28/2025	Montrer que \(\varphi : M \mapsto \pi_M\) n'est pas continue sur \(M_n(\mathbb C)\).{{c1::On a \(\varphi\left(\frac 1 p \mathrm C_…
Published	01/28/2025	Montrer que l'application \(\varphi : \mathrm M_n(\mathbb C) \to \mathrm M_n(\mathbb C)\) qui a \(M \in \mathrm M_n(\mathbb C)\) a…
Published	01/28/2025	Soit \(F\) l'application qui à une norme \(N\) sur \(\mathbb R^n\) associe la boule fermée unité pour \(N\). Montre…
Published	01/28/2025	On pose \(O\) l'ensemble des polynômes de \(\mathbb R_n[X]\) ayant \(n\) racines simples dans \(\mathbb R\). Montre…
Published	01/28/2025	Lemme de Baire. On suppose que \(E\) est complet. Montrer que {{c4::si \((F_k)_{k\in \mathbb N}\) est une suite de fermés de …
Published	01/28/2025	Rayon spectral. Montrer que pour tout \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\), \(\rho(A) = \inf \|\|\|A\|\|\|_N\) où \(N\) parcourt l'ense…
Published	01/28/2025	Rayon spectral. Montrer que pour tout \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C), \rho(A) = \displaystyle \lim_{p \to+ \infty} (\|\|\|A^p\|\|\|)^\frac 1 p\)&n…
Published	02/11/2025	Soit \(A = (a_{i, j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathrm M_n(\mathbb K)\). On note \(\|\|\|\cdot\|\|\|_\infty\) et \(\|\|\| \cdot\|\|…
Published	01/28/2025	On suppose \(E\) complet. Soit \((F_k)_{k \in \mathbb N}\) une suite de sous-espaces vectoriels de \(E\) fermés tels que…
Published	01/28/2025	On suppose \(E\) complet. Soit \(f \in \mathrm L(E)\) continu et localement nilpotent, c'est-à-dire que \(\forall \vec x \in …
Published	01/28/2025	Soit \(E = \{x_i \|i \in \mathbb N\}\) un sous-ensemble dénombrable de \(\mathbb C\) et sans singleton d'intérieur non vide. Montre…
Published	01/28/2025	Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension infinie qui admet une partie génératrice \((\vec e_n)_{n \in \mathbb N }\) dénombrable…
Published	01/28/2025	Soit \(B\) une partie {{c4::compacte, convexe, symétrique par rapport à \(0\) de \(\mathbb R^n\) telle que \(0 \in \math…
Published	01/28/2025	Montrer que les normes \(N_1 : f \mapsto \\|f\\|_\infty + \\|f'\\|_\infty\) et \(N_2 : f \mapsto \\|f + f'\\|_\infty\) définies sur&nbsp…
Published	01/28/2025	Théorème de Borel-Lebesgue, sens réciproque. Soit \(X\) une partie de \(E\). On suppose que pour toute famille \((\mathrm B(\…
Published	01/28/2025	Soit \((A_n)_{n \in \mathbb N}\) une suite de matrices diagonalisables ayant le même spectre \(S= \{\lambda_1, \cdots, \lambda_r\}\)&n…
Published	01/28/2025	Soit \(f : E \to F\) une application continue. On suppose que l'image réciproque par \(f\) de tout compact est un compact. Montrer…
Published	01/28/2025	Soit \((\vec u_n) \in E^\mathbb N\) convergeant vers \(\vec \ell\). Montrer que \(X = \{ \vec u_n \| n \in \mathbb N\} \cup \{\vec …
Published	01/28/2025	Soit \(X \) une partie compacte de \(E\). Montrer qu'il existe une partie dénombrable et dense dans \(X\).{{c1::Pour tout \(n…
Published	02/13/2025	Soient \(X\) une partie compacte non vide de \(E\) et \((F_n)_{n \in \mathbb N}\) une suite décroissante de fermés relat…
Published	02/17/2025	Théorème de Riesz. On suppose \(E\) de dimension infinie. Montrer que \(\mathrm B_f(\vec 0, 1)\) n'est pas compacte.{{c1::Par…
Published	01/28/2025	Soit \(f : [a, b] \to A\) une application continue et bijective. Montrer que \(f^{-1}\) est continue sur \(A\).{{c1::Soit&nbs…
Published	01/28/2025	Théorème des fermés emboités. Soit \(E\) un espace complet et \((F_n)_{n \in \mathbb N}\) une suite décroissante de fermés no…
Published	01/28/2025	Montrer que si toutes les normes sont équivalentes, alors \(E\) est de dimension finie.{{c1::Si \(f \in \mathrm L(E, \mathbb R)\)&…
Published	01/28/2025	On suppose que \(E\) est de dimension finie \(n \geqslant 2\). Montrer que la sphère unité de \(E\) est connexe par arcs.{{c1…
Published	01/28/2025	Montrer qu'il n'existe pas de bijection continue \(f : \mathbb R^2 \to \mathbb R\).{{c1::\(f(\mathbb R \backslash\{(0, 0)\}) = \mathbb R\backslas…
Published	01/28/2025	Soient \(I\) un intervalle non vide de \(\mathbb R\) et \(p : I \to \mathrm M_n(\mathbb K)\) une application continue te…
Published	02/13/2025	Soit \(G\) un sous-groupe borné de \(\mathrm {GL}_n(\mathbb C)\). Montrer que pour toute matrice \(M \in G\), \(M\) est&…
Published	01/28/2025	On pose \(R_p = \{A\in \mathrm M_n(\mathbb K) \| \mathrm {rg}(A) = p\}\) et \(R_p^- = \{A\in \mathrm M_n(\mathbb K) \| \mathrm {rg}(A) \l…
Published	01/28/2025	On pose \(R_p^- = \{A\in \mathrm M_n(\mathbb K) \| \mathrm {rg}(A) \leqslant p\}\) et \(R_p^+ = \{A\in \mathrm M_n(\mathbb K) \| \mathrm…
Published	01/28/2025	Soit \(f : \mathbb R \to F\) une application continue. On suppose que pour tout \(x\in \mathbb R\), il existe \(r_x > 0\) …
Published	01/28/2025	Soit \(K\) un compact. Montrer que \(K\) est un précompact, c'est-à-dire que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe&nbsp…
Published	01/28/2025	Soit \(K\) un compact, et \((\Omega_i)_{i \in I}\) une famille d'ouverts telle que \(K \subseteq \displaystyle \bigcup_{i \in…
Published	01/28/2025	Théorème de Borel-Lebesgue. Soit \(K\) une partie compacte. Soit \((\Omega_i)_{i \in I}\) une famille d'ouverts telle que&nbs…
Published	01/28/2025	Soient \(A\) et \(B\) deux parties fermées de \(\mathbb U\) telles que \(\mathbb U = A \cup B\). Montrer qu'il exis…
Published	01/28/2025	Densité des nombres de Liouville. On note \(\mathcal L\) l'ensemble des réels \(x \in \mathbb R\) vérifiant \(\forall n …
Published	01/28/2025	Connexité. Soit \(A\) une partie de \(E\). Les propositions suivantes sont équivalentes.{{c1::Les seules parties de \(A\)&nbs…
Published	01/28/2025	Connexité. Soit \(A\) une partie de \(E\) telle que toute application continue de \(A\) dans \(\{0, 1\}\)&nbsp…
Published	01/28/2025	On note \(E\) l'espace vectoriel des applications bornées de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), muni de \(\\|\cdot\\|_\inft…
Published	01/28/2025	Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb R\) une fonction. On suppose que le graphe de \(f\) est compact. Montrer que \(f \) est co…
Published	01/28/2025	On note \(E = \mathrm C^0([0, 1], \mathbb R)\). Soit \(\varphi \in E\). On pose \(\forall f \in E, N_\varphi(f) = \\|f\varphi\\|_\infty\)…
Published	01/28/2025	Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbb R\). Soit \(f : I \to \mathbb R\) une fonction croissante. Montrer que l'ensembl…
Published	01/28/2025	Théorème de Helly. Soient \(I\) un intervalle ouvert et \((f_n: I \to \mathbb R)_{n \in \mathbb N}\) une suite de fonctions c…
Published	01/28/2025	Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit \(f \in \mathrm C^0(E, \mathbb R)\). Montrer que pour tout compact \…
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