Notes in Espaces préhilbertiens

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Published	01/28/2025	\(O_n(\mathbb R)\) est une partie compacte de \(M_n(\mathbb R)\).{{c1::\(O_n(\mathbb R) = f^{-1}(\{I_n\})\) où \(f : M \mapsto M^\…
Published	03/05/2025	Soit \(f \in \mathrm C^0([0, 1], \mathbb R)\) tel que \(f \in \mathbb R_n [X]^\bot\) (pour le produit scalaire usuel). Montrer que…
Published	03/05/2025	Polynômes de Tchebychev.Définition : {{c1::\(T_0 = 1\), \(T_1 = X\) et \(\forall n \in \mathbb N, T_{n+2} = 2XT_{n+1}-T_n\).}}Produit …
Published	03/08/2025	Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) euclidien tel que \(\forall \vec x \in \langle \vec x, f(\vec x) \rangle = 0\). Montre…
Published	03/05/2025	Soit \(f : E \to E\) une application telle que \(\forall (\vec x, \vec y) \in E^2, \langle f(\vec x), \vec y\rangle = \langle \vec x, f…
Published	03/19/2025	On note \(\\|\cdot\\|\) la norme euclidienne usuelle de \(\mathrm M_n(\mathbb R)\). Soient \(A \in \mathrm M_n(\mathbb R)\) et&…
Published	03/05/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer que \(\|\det(A)\|\leqslant (\sqrt n \\|A\\|_\infty)^n\).{{c1::Inégalité d'Hadamard : \(\|\det…
Published	03/19/2025	Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan. Soit \((E, \\|\cdot\\|)\) un espace vectoriel normé. On suppose que \(\forall (\vec x, \vec y) \i…
Published	03/09/2025	Montrer que \(\mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\) est un ouvert de \(\mathrm S_n(\mathbb R)\).{{c1::Soit \(A \in \mathrm S_n^{++}(\mathb…
Published	03/09/2025	Hyperplan médiateur. Soit \((\vec x, \vec y) \in E^2\) des vecteurs unitaires distincts. Montrer qu'il existe un hyperplan \(H\)&n…
Published	03/09/2025	Endomorphismes normaux. On dit \(f \in \mathrm L(E)\) est normal s'il commute avec son adjoint. Montrer que \(f\) est normal …
Published	03/09/2025	Endomorphismes normaux. Soit \(f \in \mathrm L(E)\) un endomorphisme normal (\(f\) commute avec son adjoint). Montrer que \(\…
Published	03/09/2025	Polynômes d'Hermite.Définition : {{c1::\(H_n = \frac {(-1)^n} {n! \sqrt{2\pi} }e^\frac {x^2} 2 \frac {\mathrm d^n\left(e^{-\frac {x^2} 2} \right)} {\m…
Published	03/09/2025	Polynômes de Legendre.Définition : {{c1::Ce sont les solutions polynomiales de \(\frac {\mathrm d} {\mathrm d x}\left[(1-x^2) \frac {\mathrm df} …
Published	03/09/2025	Polynômes de Laguerre.Définition : {{c1::\(L_n = \frac {e^x} {n!} \frac {\mathrm d\left(x^ne^{-x} \right)} {\mathrm d x}\).}}Equation différenti…
Published	03/10/2025	Matrices de Gram. Soit \(\mathcal F = (\vec v_1, ..., \vec v_n) \in E^n\). On pose \(G(\mathcal F) = (\langle \vec v_i, \vec v_j \rangl…
Published	03/10/2025	Matrices de Gram. Soient \(\mathcal F = (\vec v_1, ..., \vec v_n) \in E^n\) une base de \(F\) un sous-espace vectoriel de&nbs…
Published	03/11/2025	Soit \(p\) une projection orthogonale de \(E\). Montrer que pour toute base orthonormée \(\mathcal B= (\vec e_1, ..., \vec e_n)\)&…
Published	03/11/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement si il existe \(B \in \mathrm M_n(\mathbb R…
Published	03/19/2025	Norme subordonnée à une norme euclidienne. Soit \(f \in \mathrm L(E)\). On pose \(\rho(f) = \max\{ \|\lambda\| \ \| \ \lambda \in \mathrm …
Published	03/11/2025	Norme subordonnée à une norme euclidienne. Soit \(f \in \mathrm S(E)\). On pose \(\rho(f) = \max\{ \|\lambda\| \ \| \ \lambda \in \mathrm …
Published	03/11/2025	Montrer que \(\mathrm {SO}_n(\mathbb R)\) et \(\mathrm O_n(\mathbb R) \backslash \mathrm {SO}_n(\mathbb R)\) sont connexes par arc…
Published	03/11/2025	Topologie de l'ensemble des matrices positives.{{c1::\(\mathrm S_n^+(\mathbb R)\) et \(\mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\) sont convexes.}}{{…
Published	03/12/2025	Matrice de covariance. Soient \(X_1, ..., X_n\) des variables aléatoires réelles ayant un moment d'ordre \(2\). Montrer que \…
Published	03/12/2025	Soit \((A, B) \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R) \times \mathrm S_n^+(\mathbb R)\). Montrer que \(AB\) est diagonalisable et que \(\m…
Published	03/12/2025	Critère de Sylvester. Soit \(A = ((a_{i, j}))_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\in \mathrm S_n(\mathbb R)\). On pose \(\forall j \in [\![…
Published	03/14/2025	Montrer que la matrice \(A = \left(\left( \frac 1 {1 + \|i-j\|} \right) \right)_{1\leqslant i, j \leqslant n}\) est définie positive.{{c1::Pou…
Published	03/19/2025	Montrer que \(\forall (A, B) \in (\mathrm S_n^+(\mathbb R))^2, (\det(A+B))^{\frac 1n} \geqslant (\det(A))^{\frac 1n} + (\det(B))^{\frac 1n}\).{{c…
Published	03/14/2025	Décroissance de la fonction inverse. Soit \((A, B) \in (\mathrm S_n^{++}(\mathbb R))^2\) tel que \(A - B \in \mathrm S_n^{++}(\mat…
Published	03/14/2025	Une suite majorée et croissante converge. Soit \((A_p) \in (\mathrm S_n^{+}(\mathbb R))^\mathbb N\) telle que \(\forall p \in \mat…
Published	03/14/2025	Soit \(A \in \mathrm A_n(\mathbb R)\). Montrer que \(\det(A) \geqslant 0\).{{c1::On a \(\mathrm {Sp}_\mathbb C(A) \subseteq i\mathbb R…
Published	03/14/2025	Montrer que \(\exp\) induit une bijection de \(\mathrm S_n(\mathbb R)\) dans \(\mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\), de réciproque c…
Published	03/16/2025	Les réflexions engendrent \(\mathrm O(E)\). Montrer que toute isométrie \(f\) de \(E\) s'écrit comme une composition d'a…
Published	03/15/2025	Décomposition \(OS\). Soit \(A \in \mathrm {GL}_n(\mathbb R)\). Montrer qu'il existe un unique couple \((O, S) \in \mathrm O_n(\ma…
Published	03/15/2025	Décomposition \(OS\). Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer qu'il existe \((O, S) \in \mathrm O_n(\mathbb R) \times \mathrm S_…
Published	03/21/2025	Soit \(A : \mathbb R \to \mathrm M_n(\mathbb R)\) continue telle que \(\forall t \in \mathbb R, -(A(t)+A^\top(t)) \in \mathrm S_n^+(\ma…
Published	03/17/2025	Soit \(A : \mathbb R \to \mathrm M_n(\mathbb R)\) continue telle que \(\forall t \in \mathbb R, -(A(t)+A^\top(t)) \in \mathrm S_n^+(\ma…
Published	03/17/2025	Théorème de réduction simultanée. Soit \((A, B) \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\times \mathrm S_n(\mathbb R)\). Montrer qu'il existe une mat…
Published	03/17/2025	Décomposition en valeurs singulières. Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer qu'il existe \((U, V) \in (\mathrm O_n(\mathbb R))…
Published	03/17/2025	Décomposition de Choleski. Soit \(A \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\) Montrer qu'il existe une unique matrice \(P \in \mathrm M_n(…
Published	03/27/2025	Théorème de Fisher-Cochran. Soient \(f_1, ..., f_p\) des endomorphismes autoadjoint tels que \(\displaystyle \sum_{i=1}^p \mathrm …
Published	03/29/2025	Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(\varphi\) une forme hermitienne sur \(E\). Soit&nbsp…
Published	03/18/2025	Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(\varphi\) une forme hermitienne sur \(E\). Soit&nbsp…
Published	03/20/2025	Soit \(n \geqslant 2\). Montrer qu'il existe un espace euclidien \(E\) de dimension \(n-1\) et un morphisme injectif \(\…
Published	03/18/2025	Montrer que si \(S\) est une partie génératrice de \(S_n\) composée de transpositions, alors \(\mathrm {Card}(S) \geqslant n-…
Published	03/23/2025	Réduction des endomorphismes normaux. Soit \(f \in \mathrm L(E)\) qui commute avec son adjoint. Montrer qu'il existe une base orthonorm…
Published	03/19/2025	Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire sur \(E\). On suppose que \(\forall (\vec x, \vec y), \varphi(\vec x, \vec y) = 0 \Rightarro…
Published	03/20/2025	Soient \(a_n \leqslant \cdots \leqslant a_1\) et \(b_n \leqslant \cdots \leqslant b_1\). Calculer \(\displaystyle \max_{U \in \mat…
Published	03/20/2025	Soit \(\omega : I \to \mathbb R_+^*\) une fonction continue. On pose le produit scalaire \(\langle P, Q \rangle = \displaystyle \int_I …
Published	03/21/2025	Loi d'inertie de Sylvester, signature. Soient \(A \in \mathrm S_n(\mathbb R)\) et \(q\) la forme quadratique associée à …
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