Notes in Mathematik::VT-Rechnung

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Published	07/13/2024	Vergleiche Impuls- und Drehimpuls:\[\vec p= m \cdot \vec v\]\[\vec L = \tilde I \cdot \vec \omega\]Warum braucht man beim Impuls nur ein Skalar?Warum …
Published	07/13/2024	Gibt es zum Vektor \(\vec a\) einen inversen Vektor \(\frac{1}{\vec a}\)?Wenn Ja: Wie wird er gebildet?
Published	07/13/2024	Ist dieses dreifache Skalarprodukt sinnvoll?\[(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)\]Wenn Ja: Wie wird es angewandt?…
Published	07/13/2024	Assoziativität beim Skalarprodukt:Nenne eine sinnvolle Identität mit dem Skalar \(\alpha\) und den Vektoren \(\vec a, \vec b\)
Published	07/13/2024	Distributivität beim Skalarprodukt:Nenne eine sinnvolle Identität mit dem den Vektoren \(\vec a, \vec b, \vec c\)
Published	07/13/2024	Betrachte den Ausdruck mit dem frei wählbaren Vektor \(\vec b\) \[\vec a \cdot \vec b =0\]Muss \(\vec a\) im Allgemeinen der Nullv…
Published	07/13/2024	Wie ist der Inhalt eines Parallelotopsaus den Vektoren \(\vec a_1, \text{... }, \vec a_p\) definiert?
Published	07/13/2024	Vektoren mit Länge \(1\) nennt man
Published	07/13/2024	Betrachte die umgestellte algebraische Definition des Cosinus:\[\|\vec a \cdot \vec b\|=\|\vec a\|\cdot \|\vec b\|\cos(\alpha)\]Wie sieht das geometrisch au…
Published	07/13/2024	Lineare Abhängigkeit: Zeige, dass bei Erfüllung dieserGleichung \(\vec a, \vec b\) parallel sind!\[\lambda \vec a +\mu \vec b=0\]
Published	07/13/2024	Betrachte \(\vec a=a^i\cdot \vec g_i\). Welche Größe hat welche Eigenschaft?
Published	07/13/2024	Wie spricht man den Ausdruck \(a^i\) aus, wobei \(i\) kein Exponent sondern ein Index ist?Bonus: Sprich aus – \(a^i, b_j\)
Published	07/13/2024	Was ist mit der Gleichung im Kontext von 3 Raumdimensionen\[\vec a=a^i \vec g_i\] gemeint?Tipp: Einstein
Published	07/13/2024	Betrachte das allgemeine Skalarprodukt \(\vec a \cdot \vec b\)in der Summenschreibweise \[(a^i \vec g_i)\cdot (b^j\cdot \vec b_j)\]Was ist b…
Published	07/13/2024	Was ist der Metrik-Tensor? Wozu braucht man ihn?Bonus: Normalerweise werden beimSkalarprodukt die jeweiligen Komponenten multipliziertund dann addiert…
Published	07/13/2024	Was ist ein Tensor 0., 1. und 2. Stufe?
Published	10/06/2024	Von einem allgemeinen Vektor \(\vec a\) kennt man die kontravarianten Komponenten \(a^i\).Wie kann man dessen Länge berechnen?(Im nicht…
Published	07/13/2024	Wie setzt sich die \(i,j\)-te Komponente des Metrik-Tensors\(g_{ij}\) zusammen?
Published	07/13/2024	Wie berechnet man die Länge eines Basisvektors \(\vec g_i \rightarrow \|\vec g_i\|\)?Was bedeutet das für die Hauptdiagonale?
Published	07/13/2024	Wie findest du das Volumen eines Paralleotops, welchesvon den Vektoren \(\vec g_i\) aufgespannt wird?Welche 2 Arten gibt es, dies zu notiere…
Published	07/13/2024	Betrachte Vektoren: Was ist der Unterschied zwischeneiner (allgemeinen, mathematischen) Komponente undeiner physikalischen Komponente?
Published	07/13/2024	Gegeben sei die kontravariante Komponente \(a^i\) und die kovariante Länge eines Basisvektors \(\|\vec g_i\|\neq 1\).Berechne die ph…
Published	07/13/2024	Warum ist der Metrik-Tensor symmetrisch? Notiere algebraisch!Bonus: Was folgt daraus für die Anzahl einzigartiger Einträge im Tensor?
Published	07/13/2024	Was bedeutet die Schreibweise: 1. \((g_{ij})\)2. \((a^i)\)
Published	07/13/2024	Finde die Einträge 1. \(g_{11}, \;\,\)2. \(g_{ij}\; (i\neq j)\) des Metrik-Tensors, wobei die Länge der Basisvektoren und Winkel&n…
Published	07/13/2024	Wir sehen durch Nutzung des Metrik-Tensors, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren anders zu berechnen ist, als es in der Schule gelernt wur…
Published	07/13/2024	Betrachte den Metrik-Tensor (Orthonormalsystem), welcherin der Schule zur Berechnung des Skalarprodukts verwendet wurde: Wie berechnet sich der B…
Published	07/13/2024	Wann entspricht die Komponente eines Vektors der physikalischen Komponente? Warum?
Published	07/13/2024	Definition des algebraischen Cosinus\[\cos \alpha=?\]
Published	07/13/2024	Gegeben sei eine kovariante Basis.Wie ist die dazu kontravariante Basiseindeutig definiert?
Published	07/13/2024	Wie sieht der kovariante Metrik-Tensor (bzw. die kovarianten Komponenten) aus?Wie berechnet man diesen?
Published	07/13/2024	Wie sieht der kontravariante Metrik-Tensor (bzw. die kontravarianten Komponenten) aus?Wie berechnet man ihn?
Published	07/13/2024	Wie sieht der gemischte Metrik-Tensor (bzw. die gemischten Komponenten) aus?Wie nennt man ihn?Was folgert man aus dieser Beziehung?
Published	07/13/2024	\[x^j \cdot \delta_j \, ^k=?\]Begründe das Ergebnis!Bonus: Wie nennt man diesen Vorgang?
Published	07/13/2024	\[a^i \cdot \vec g_i \cdot \vec g ^j=?\]
Published	07/13/2024	Betrachte \[A^{ij}\cdot \delta_j \, ^k\]wobei \(A^{ij} \) ein Tensor 2. Stufe und \(\delta_j \, ^k\) das Kronecker Delta ist.…
Published	07/13/2024	\[(g_{ij})\cdot (g^{ij})=?\]Was folgt aus dem Ergebnis?
Published	07/13/2024	1. \(g^{ij}\cdot \vec g_j=?\)2. \(g_{ij}\cdot \vec g^j=?\)
Published	07/13/2024	Auf welche Weisen kannst du den Vektor \(\vec a \) allgemein darstellen?Warum sind diese äquivalent?
Published	07/13/2024	\[g^{ij}\, a_i=?\]
Published	07/13/2024	\[g_{ij}\, a^i=?\]Warum?
Published	07/13/2024	Gegeben sei die kovariante Komponente \(a_i\)und der kontravariante Metriktensor \(g^{ij}\).Finde die physikalische Komponente \(a_i^*\…
Published	07/13/2024	Wie erhält man aus einer kovarianten Komponentedie Kontravariante?
Published	07/13/2024	Wie tauscht man den Index \(i\) mit dem Index \(j\) aus?\[a^i \rightarrow^? a^j\]
Published	07/13/2024	Betrachte die Orthonormalbasis \(\hat e_i\):Wie sehen die ko- und kontravarianten Basen aus?Wie unterscheiden sie sich?
Published	07/13/2024	Wie notiert man eine zweifach indiziert Größe miteiner ko- und einer kontravarianten Komponente?Warum?
Published	07/13/2024	Betrachte eine Transformation durch eine Matrixbei gegebenen Basisvektoren \(\vec g_i\).Wie setzen sich die Elemente der Matrix zusammen?
Published	07/13/2024	Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix
Published	07/13/2024	Gegeben sei der ursprüngliche Basisvektor \(\vec g_j\).Wie findest du den transformierten Basisvektor bei gegebener Transformations-Matrix?Was be…
Published	07/13/2024	Gegeben sei der ursprüngliche Basisvektor \(\vec g^l\).Wie findest du den transformierten Basisvektor bei gegebener Transformations-Matrix?Was be…
Published	07/13/2024	\[\underline{a_i}^j \cdot \overline{a_j} \,^k=?\]Was bedeutet das Ergebnis?
Published	07/13/2024	Betrachte einen allgemeinen Vektor \(\vec A\) sowohlim ursprünglichen, als auch im Transformierten Koordinatensystem.Wie kannst du diesen no…
Published	07/13/2024	\[\underline{a_l}^j \vec A_j =?\]Was bedeutet das Ergebnis?
Published	07/13/2024	Fülle die Lücken! (Es sind nur mathematische Ausdrücke)
Published	07/13/2024	Fülle die Lücken!
Published	07/13/2024	Wenn für eine indizierte Größe gilt \[\overline A^i=\overline a_j \, ^i \cdot A^j\]\[ \overline {A_i}=\underline a_i \, ^j \cdot A_j\]dann sprich…
Published	07/13/2024	Was ist ein Musterbeispiel für einenTensor zweiter Stufe?
Published	07/13/2024	Die Komponenten eines Vektors bilden...?
Published	07/13/2024	Wie ist die Determinante \(\det(A)\) zu interpretieren?Hinweis: \(n \times n\) Matrix \(A \) kann als lineare Trans…
Published	07/13/2024	Gegeben sei eine Matrix\[A=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\]Wie kann man eine Matrix allgemein interpretieren?
Published	07/13/2024	Wie ist ein Tensor 2. Stufe definiert?Mathematisch & in Worten
Published	07/13/2024	Wie kann man sich einen Tensor 3. Stufeanschaulich vorstellen?
Published	07/13/2024	Wie ist ein Tensor \(p\)-ter Stufe definiert?
Published	07/13/2024	Wie ist ein Tensor \(0\)-ter Stufe definiert?Welche Eigenschaft folgt für Tensoren \(0\)-ter Stufe?Nenne Beispiele!
Published	07/13/2024	In welchem Fall genügt es, die Indizesnur oben oder nur unten zu schreiben? Warum?
Published	07/13/2024	Addition von Tensoren:Was muss erfüllt sein?
Published	07/13/2024	Multiplikation von Tensoren:Was muss erfüllt sein? \[A^{ij} \cdot B^k \,_l=?\]Nenne Beispiele!
Published	07/13/2024	Was ist die Verjüngung eines Tensors?Verjünge! \(T^{ij} \, _k \; \; A^j \, _k\)
Published	07/13/2024	Wie kann man überprüfen, ob ein Tensor zweiter Stufe richtig transformiert wurde?
Published	07/13/2024	Wie wird im Allgemeinen in der Physikein Vektor einem anderen Vektor zugeordnet?Welche Bedingung kann – aber muss nicht – erfüllt sein?
Published	07/13/2024	Wozu hat man in der Physik erstmals Tensoren benötigt?
Published	07/13/2024	Betrachte den Spannungstensor bezogen auf Festkörper. Welche physikalische Bedeutung hat die \(T_{ik}\)-Komponente?Bonus: Welche Einheit hat…
Published	07/13/2024	Warum spricht man beim Spannungstensor von einerSpannung und nicht von einem Druck? Immerhin geht es um Kraft pro Fläche!
Published	07/13/2024	Betrachte den Spannungstensor. Was geben die Komponenten an?1) \(T_{11}, T_{22},T_{33}\)2) \(T_{ij}\)  \(i\neq j\)
Published	07/13/2024	Bei Fluiden steht der Kraftvektor immer senkrecht zur Oberfläche (also parallel zum Oberflächenvektor).Wie sieht der Spannungstensor aus? Tipp:&n…
Published	07/13/2024	Was ist ein symmetrischer Tensor?
Published	07/13/2024	Was ist ein antisymmetrischer Tensor?Was folgt daraus für die Elemente \(T_{ii}\)?
Published	07/13/2024	Betrachte den antisymmetrischen Tensor 3. Stufe in3 Raumdimensionen: \[T^{123}=-T^{213}=T^{231}=-T^{321}=T^{312}=-T^{132}\]Wie viele einzigartige…
Published	07/13/2024	Was ist ein vollständig (anti-)symmetrischer Tensor?
Published	07/13/2024	Wie ist das Epsilon-Symbol \(\varepsilon(i,j,k)\) definiert?
Published	10/08/2024	Wie bestimmt man die \(i,j,k\) Komponente des Epsilon-Tensors? Wo kommt eine Determinante ins Spiel?Bonus: Warum ist hier die Unterscheidung…
Published	07/13/2024	Betrachte den transformierten, kovarianten Metrik-Tensor:\[\overline{g_{ij}}=\underline{a_i}^k \underline{a_j}^l \, g_{kl}\]Wie findest du die (Wurze…
Published	07/13/2024	Berechne die Determinante der Transformationsmatrix(auch Transformations-Determinante): \[\det(\underline{a_i}^k)\]
Published	07/13/2024	Was ist ein Pseudotensor?In welchen Fällen verhält er sich anders?
Published	07/13/2024	Was ist ein Rechtssystem?Was ist ein Linkssystem?
Published	07/13/2024	1. Was sind Axialvektoren?2. Was sind polare Vektoren?
Published	07/13/2024	Wie ist das Vektorielle Produkt definiert? (3 Möglichkeiten, 1 davon analog zum Skalarprodukt)
Published	07/13/2024	\[\vec a \cdot (\vec a \times \vec b)=?\]
Published	07/13/2024	Wann immer eine Symmetrische Größe überschoben wird mit einer Antisymmetrischen Größewird, ist...Beweis: \(A^{ij}\) antisymmetrisch,&nb…
Published	07/13/2024	Wie wird die Determinante des kovariantenMetriktensors bezeichnet?Bonus: Wie beim Kontravarianten?
Published	07/13/2024	Betrache den vollständig antisymmetrischen Epsilon Tensor \(\varepsilon_{ijk}\)\[\varepsilon_{rst}\,\varepsilon^{rst}=\]\[\varepsilon_{rsi}\…
Published	07/13/2024	Das Vektorielle Produkt ist ein Pseudovektor.Wie ist die Orientierung?
Published	07/13/2024	Verstehe den Beweis, dass \((\vec a \times \vec b)=- (\vec b \times \vec a)\)Wobei in der 2. Zeile die Komponenten nach Regel der Multiplikation …
Published	07/13/2024	\[\vec a \times \vec a =?\]Interpretiere das Ergebnis!
Published	07/13/2024	Welche ist die mit Abstand wichtigste Methode in der Tensorrechnung und Mathematik allgemein? Was zeichnet einen guten Mathematiker aus?Bonus: Welches…
Published	07/13/2024	Vollziehe nach, wie es zu dieser Vektoridentität kommt!Wobei von der 4. auf die 5. Zeile die Identität \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{ilm}=\delt…
Published	07/13/2024	Nenne Beispiele für Tensorfelder!
Published	07/13/2024	Wie sind Niveauflechen eines Skalarfelds \(\lambda \) definiert?
Published	07/13/2024	Unterscheide Flussdichte und Fluss!
Published	07/13/2024	Was ist ein Vektor-potential?Was muss gelten wenn \(\vec a\) ein Vektor-potential zur \(\vec v\) ist?
Published	07/13/2024	Was bedeutet...0-zusammenhängend (wegzusammenhängend)?1-zusammenhängend (einfach zusammenhängend)?2-zusammenhängend?
Published	07/13/2024	\[\vec v=grad \ \lambda\Rightarrow rot \ \vec v=0\]Welche Bedingung muss gelten damit die zwei Ausdrücke äquivalent sind?d.h.: Unter welcher Zusatzbed…
Published	07/13/2024	\[\vec v=rot \ \vec a\Rightarrow div \ \vec v=0\]Was muss gelten damit die zwei Aussagen äquivalent sind?d.h. unter welcher Zusatzbedingung kann man a…
Published	07/23/2024	Wie sind Koordinatenlinien definiert?Bonus: Überlege dir wie die Koordinatenlinien zu den Kugelkoordinaten \(r, \varphi, \vartheta\) aussehe…
Published	07/13/2024	Wie sind Koordinaten-Hyperflächen definiert?Bonus: Überlege dir wie die Koordinatenflächen zu den Zylinderkoordinaten \(r,\varphi,a\) ausseh…
Published	07/13/2024	Wie werden die kovarianten Basisvektoren \(\vec g_{\alpha}\) eines beliebigen Koordinatensystems \((q^i)\) definiert?Wie kann man …
Published	07/13/2024	Wie werden die kontravarianten Basisvektoren \(\vec g^\alpha\) eines beliebigen Koordinatensystems  \((q^i)\) definiert?Wie kann m…
Published	07/13/2024	Wie können die Ko- und Kontravarianten Basisvektoren eines beliebigen Koordinatensystems in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden?
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