Notes in Mathematik::Lineare Algebra

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Published	10/31/2024	Wie ist das Epsilon-Symbol \(\varepsilon(i,j,k)\) definiert?Bonus: ist es symmetrisch oder antisymmetrisch?
Published	10/31/2024	Gibt es zum Vektor \(\vec a\) einen inversen Vektor \(\frac{1}{\vec a}\)?Wenn Ja: Wie wird er gebildet?
Published	10/31/2024	Assoziativität beim Skalarprodukt:Nenne eine sinnvolle Identität mit dem Skalar \(\alpha\) und den Vektoren \(\vec a, \vec b\)
Published	10/31/2024	Distributivität beim Skalarprodukt:Nenne eine sinnvolle Identität mit dem den Vektoren \(\vec a, \vec b, \vec c\)
Published	10/31/2024	Ist dieses dreifache Skalarprodukt sinnvoll?\[(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)\]Wenn Ja: Wie wird es angewandt?…
Published	10/31/2024	Betrachte den Ausdruck mit dem frei wählbaren Vektor \(\vec b\) \[\vec a \cdot \vec b =0\]Muss \(\vec a\) im Allgemeinen der Nullv…
Published	10/31/2024	Betrachte die umgestellte algebraische Definition des Cosinus:\[\|\vec a \cdot \vec b\|=\|\vec a\|\cdot \|\vec b\|\cos(\alpha)\]Wie sieht das geometrisch au…
Published	10/31/2024	Definition des algebraischen Cosinus\[\cos \alpha=?\]
Published	10/31/2024	Lineare Abhängigkeit: Zeige, dass bei Erfüllung dieserGleichung \(\vec a, \vec b\) parallel sind!\[\lambda \vec a +\mu \vec b=0\]
Published	10/31/2024	Betrachte das allgemeine Skalarprodukt \(\vec a \cdot \vec b\)in der Summenschreibweise \[(a^i \vec g_i)\cdot (b^j\cdot \vec b_j)\]Was ist b…
Published	10/31/2024	\[x^j \cdot \delta_j \, ^k=?\]Begründe das Ergebnis!Bonus: Wie nennt man diesen Vorgang?
Published	10/31/2024	Wie tauscht man den Index \(i\) mit dem Index \(j\) aus?\[a^i \rightarrow^? a^j\]
Published	10/31/2024	Was ist ein Rechtssystem?Was ist ein Linkssystem?
Published	10/31/2024	Wie ist das Vektorielle Produkt definiert? (3 Möglichkeiten, 1 davon analog zum Skalarprodukt)
Published	10/31/2024	\[\vec a \cdot (\vec a \times \vec b)=?\]
Published	10/31/2024	Betrache den vollständig antisymmetrischen Epsilon Tensor \(\varepsilon_{ijk}\)\[\varepsilon_{rst}\,\varepsilon^{rst}=\]\[\varepsilon_{rsi}\…
Published	10/31/2024	\[\vec a \times \vec a =?\]Interpretiere das Ergebnis!
Published	11/03/2024	Vollziehe nach, wie es zu dieser Vektoridentität kommt!\[(\vec a \times \vec b)\cdot(\vec c\times \vec d)=\]\[=(\vec a \times \vec b)_i\cdot(\vec c\ti…
Published	10/31/2024	Was versteht man unter der Einstein'schen Summenkonvention?
Published	10/31/2024	Was ist das Kronecker-Delta? Bonus: ist es symmetrisch oder antisymmetrisch?
Published	10/31/2024	symmetrisch \(\cdot\) antisymmetrisch \(=\)?
Published	11/03/2024	Sei \(V\) ein Vektorraum.Wenn \(V = \text{span}(v_i)_{i \in I}\),nennen wir \(V\) ein...
Published	11/03/2024	Für eine Familie \(v_i\) von Vekoren im Vektorraum \(V\)nennen wir den von \((v_i)_{i \in I} \) aufgespannten Raum wie?Bonus:Was i…
Published	11/03/2024	Für eine (un-)endliche Familie \(v_i\)nennen wir alle Vektoren der Form\(v= \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_m v_{i\cdot m}\)... der Familie \((v_i)…
Published	11/03/2024	Teilmenge \(U \subset V\) heißt Untervektorraum von \(V\), wenn gilt:
Published	11/03/2024	Warum ist Untervektorraum auch Vektorraum?
Published	11/03/2024	Definition des Skalarprodukts auf den komplexen Zahlen:\(\text{Sei }V\text{ ein komplexer Vektorraum.}\)\[\text{Ein }\textbf{Skalarprodukt} \text{ auf…
Published	11/03/2024	Sei \(V\) ein Vektorraum über \(K\). Eine r-tupel \((v_1,...,v_r)\)von Vektoren in \(V\) sind linear unabhängig, wenn
Published	11/03/2024	Eine \(\infty\) Familie von Vektoren heißtlinear unabhängig, wenn
Published	11/03/2024	Jedeslinear unabhängigeErzeugendensystemnennen wir
Published	11/03/2024	Was heißt linear abhängig?
Published	11/03/2024	Wie testet man lineare Unabhängigkeit von Vektoren? (rechnerisch)
Published	11/03/2024	Kann eine Familie mit Nullvektor linear unabhängig sein?
Published	11/03/2024	Was ist Basis vom Vektorraum \(\{0\}\)?
Published	11/03/2024	Tripel \((V, +, \cdot)\) heißt reeller Vektorraum, wenn was gegeben ist?
Published	11/03/2024	Die Längeeiner Basiseines Vektorraums \(V\)nennen wir
Published	11/03/2024	Was ist ein Vektor? (mathematisch korrekt)
Published	11/03/2024	Sei \(V\) ein Vektorraum über \(\mathbb{K}\) und seien \((v_1,..,v_r)\in V\) "Vektoren" und \((\lambda_1,...,\lambd…
Published	11/03/2024	Ist \(L(v_1,...,v_r)\) ein Untervektorraum von \(V\)? Wenn ja, warum?
Published	11/03/2024	Definition: Sei \(V\) ein Vektorraum über \(K\). Ein n-tupel \((v_1,...,v_r)\)von Vektoren in \(V\) V heißt Basis von&nb…
Published	11/03/2024	Was gilt für jeden Vektor in \(V\) mit der der Basis \((v_1,...,v_n)\)?
Published	11/03/2024	Basisergänzung\(\dim V = n\),was muss es zusätzlich zur lin. unabh. Familie \((w_1,...,w_m)\) mit \(m < n\)geben, sodass diese eine Basis bildet?
Published	11/03/2024	Gegeben sei eine orthonormale Basis\((e_1,e_2,e_3)\) und du willst einen Vektoren in diese Basis entwickeln, sodass\[\sum_{j=1}^3 \lambda_j …
Published	11/03/2024	Was ist eine kanonische Basis? Wie sieht diese in \(\mathbb{R}^1\,\, , \mathbb{R}^2 \,\, , \mathbb{R}^3 \) aus?
Published	11/03/2024	Ein reeller Vektorraum sei definiert als ein Tripel \((V, +\,,\,\cdot\,)\) aus einer Menge \(V\). Welche acht Axiome müssen gelten…
Published	11/03/2024	Was wird mit dem "Körper der komplexen Zahlen" gemeint? Welche Verknüpfungen gelten?
Published	11/03/2024	Multiplikation zweier komplexer Zahlen \(z_1 = a+ib\) und \(z_2 = c +id\)in Kart. und Polarform
Published	11/03/2024	Wie lässt sich \(\frac{1}{z}\in \mathbb{C}\) umschreiben?
Published	11/03/2024	Komplex kojugiertes von \(z=\|z\|\cdot e^{i\varphi}\in \mathbb{C}\) in Polar- und Eulerdarstellung
Published	11/03/2024	Euler'sche Formelmit \(z =\) in Polar
Published	11/03/2024	Sind folgende Verknüpfungen Untervektorräume?\[1. \,\,\,U_1\cap U_2\]\[2. \,\,\,U_1\cup U_2\]
Published	11/03/2024	\[\text{dim}\,\mathbb{K}^n=\,\\?\]
New Card	10/31/2024	Sei \((v_1,...,v_r)\in V\) und \(r>\text{dim}\,V\). Dann ist \((v_1,...,v_r)\)...
New Card	11/01/2024	Wie hängen Norm und Skalarprodukt zusammen?
New Card	11/01/2024	\[\vec a \cdot (\vec a \times \vec b)=?\]
New Card	11/02/2024	Was gilt für folgende Multiplikationen?\[\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\]\[\mathbb{R}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\]\[\mathbb…
New Card	11/02/2024	Was heißt es wenn die Mengen \(U_1\) und \(U_2\) addiert werden?
New Card	11/02/2024	Was ist eine abelsche Gruppe?
New Card	11/02/2024	Was ist das kartesische Produktzweier Mengen \(X, Y\)?Wie ist die Notation?
New Card	11/02/2024	Was ist eine Potenzmenge?Wie ist die Notation?
New Card	11/02/2024	Kartesisches Produkt Teil 1:Wie kann man sich das kartesische Produkt \(A \times B=\{(a,b)\|a \in A,\,b \in B\}\) veranschaulichen? Was ist d…
New Card	11/02/2024	Kartesisches Produkt Teil 2:Wie kann man sich das kartesische Produkt \(A \times B=\{(a,b)\|a \in A,\,b \in B\}\) vorstellen wo \(A=B=\m…
New Card	11/02/2024	Was ist das kartesische Produkt der Mengen \(A_1,...,A_n\) mit dem n-tupel \((a_1,...,a_n)\)?
New Card	11/02/2024	Mit der Einstein´schen Summenkonvention kann man Größen mit Skalar- und Vektorprodukte vereinfacht dargestellen. Bsp:\[\|\|x\times y\|\|^2=\langle x \time…
New Card	11/02/2024	Injektivität
New Card	11/02/2024	Injektivität: formale Definitionmit Umkehrung
New Card	11/02/2024	Wann gibt es eine inverse Matrix zur Matrix \(A \in M(m\times n\,\,,\,\,\mathbb{R}) \)?Bonus: Was sind notwendige oder hinreichende Kriterien?
New Card	11/02/2024	Wann ist die lineare Abbildung \(F: V \rightarrow W\) bijektiv?
Published	11/03/2024	Definition: Seien \(V \) und \(W\) Vektorräume über \(\mathbb{K}\). Eine Abbildung \(f: V\rightarrow W\) ist linear oder…
Published	11/03/2024	Kern, Bild und Rang Definitionen:Sei \(F: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung:
Published	11/03/2024	Wie lautet die Dimensionsformel von linearen Abbildungen?
Published	11/03/2024	Sei \(F:V\rightarrow W \) eine linare Abbildung. Was ist dann \(F(\vec0)\)? Wie kann man sich das vorstellen?
Published	11/04/2024	Genau wann ist lin Abbildung F surjektiv? (mit dim rang etc.)\(F: V \rightarrow W\)
Published	11/04/2024	Genau wann ist lin Abbildung F injektiv? (mit dim rang etc.+ Beweisidee)
Published	11/04/2024	Satz: Seien \(F=V\rightarrow W, \,G:W\rightarrow X\)  lineare Abbildungen. Ist dann die Komposition \(G\,\circ\,F:V\rightarrow X\)&nbsp…
Published	11/04/2024	Definition: Seien \(V,W \) Vektorräume. Eine Abbildung \(F:V\rightarrow W \) heißt linear, wenn...
Published	11/04/2024	Was ist Kern von \(F\) wenn \(F\) eine lineare Abbildung ist?Ist es ein Untervektorraum?
Published	11/04/2024	Sei \(F:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Was ist das Bild von von \(F\)? Ist es Untervektorraum?
Published	11/04/2024	Seien \(V, W\) reelle Vektorräume. Wie nennt man die Menge aller lineare Abbildungen von \(V\) nach \(W\)?
Published	11/04/2024	Seien \(F:V\rightarrow W\,,\,G: W\rightarrow Z\) lineare Abbildungen. Dann ist \(\text{rang }G\,\circ\,F\)...
Published	11/04/2024	Definiton: Gegeben sei eine \(m\times n \text{ -Matrix über }\mathbb{K}\) mit \(mn \) Elementen in \(\mathbb{K}\). Nach welch…
New Card	11/10/2024	Was gilt zum Rang einer Komposition linearer Abbildungen?
New Card	11/10/2024	Willst die Matrix du erhalten,...
New Card	11/10/2024	Wie berechnet man die Dimension vom Bild der allgemeinen linearen Abbildung \(f_A\)?
New Card	11/10/2024	Wie bekomm ich Spaltenvektoren von Matrizen heraus?
New Card	11/10/2024	Wie geht Matrixmultiplikation? \(B\cdot A\)
New Card	11/12/2024	Satz: Sei \(A \in M (m\times n, \mathbb{K})\). Dann ist die Abbildung \(\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m, \,\,x\mapsto Ax\) linear…
New Card	11/12/2024	Sei \(f: V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen über \(\mathbb{K}\) mit den Basen \((v_1,...,v_n)\)&nb…
New Card	11/12/2024	(1 out of 3)Wann ist eine Abbildung \(f:V\to W \) zwischen den Vektorräumen \(V\) und \(W\) über \(\mathbb{K}\)&nbs…
New Card	11/12/2024	Welche der folgenden Aussagen ist richtig?Sei \(f: V\rightarrow W \) eine lineare Abbildung.\(f(0)=0\)\(f(-x)=-f(x)\,\,\,\forall x\in V\)\(f…
New Card	11/12/2024	(1 out of 3)Wann ist eine lineare Abbildung \(f:V\rightarrow W\) isomorph?Es gibt eine lineare Abbildung \(g:W\rightarrow V\) mit&…
New Card	11/12/2024	Seien \(F:V\rightarrow W\,,\,G:W\rightarrow Z \) lineare Abbildungen. Was muss für \(F\) und \(G \) gelten, wenn:\[\text…
New Card	11/12/2024	Wie funktioniert die Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen?Hierfür seien \((a_{ij}), (b_{ij})\in M(m\times n,\mathbb{K})\) und&nbsp…
New Card	11/12/2024	Wann gibt es ein inverses Element bei Matrizenmultiplikation?Bonus: Was ist ein notwendiges oder ein hinreichendes Kriterium?
New Card	11/12/2024	Was ist eine allgemeine lineare Gruppe (general linear group) und was sind dessen 3 Eigenschaften?
New Card	11/12/2024	Was sind die 3 Eigenschaften der Matrixmultiplikation?
New Card	11/12/2024	Wieso kann die allgemeinste lineare Abbildung als Matrix geschrieben werden?
New Card	11/12/2024	Sei \(A\) eine \(n\times n \) Matrix\(\det(AB)=?\)\(\det(A^T)=?\)\(\det(A^{-1})=? \:\Rightarrow \det(A)\neq ?\)\(\det(\mu A)=?\)
New Card	11/12/2024	Wie ist die Determinante \(\det(A)\) zu interpretieren?Hinweis: \(n \times n\) Matrix \(A \) kann als lineare Trans…
New Card	11/12/2024	Matrizen:Sei \(A\) eine \(n \times n\) Matrix.\(A^0=?\)
New Card	11/12/2024	Eigenschaften der Determinante
New Card	11/12/2024	Berechne die Determinante einer \(3 \times 3 \) Matrix:\[A=\left[\begin{align}a_1\,\,a_2\,\,a_3\\b_1\,\,b_2\,\,b_3\\c_1\,\,c_2\,\,c_3\end{al…
New Card	11/18/2024	Seien \(\hat i=(1,0)^T, \hat j=(0,1)^T\) die Basisvektoren deines gewohnten Koordinatensystems.Die Matrix \(A= \begin{pmatrix} \overbra…
New Card	11/18/2024	Was besagt der Basisergänzungssatz?
New Card	11/18/2024	Austauschlemma: Im Vektorraum \(V\) über \(\mathbb{K}\) seien zwei Basen \((v_1,...,v_n)\) und \((w_1,...,w_m)…
New Card	11/18/2024	Wie lautet die Dimensionsformel für Untervektorräume?
New Card	11/18/2024	Welche Aussage über Untervektorräume gilt stets? (1 out of 3)\((U_1+U_2)+U_3=U_1+(U_2+U_3)\)\(U_1\cap(U_2+U_3)=(U_1\cap U_2)+(U_1\cap U_3)\)\(U_1+(U_2…
New Card	11/18/2024	Welche Basis hat der Vektorraum \(V=\{0\}\)? Begründe deine Antwort! (1 out of 3)hat die Basis \((0)\)hat die Basis \(\emptyset\)hat ga…
New Card	11/18/2024	Wie lässt sich das Kreuzprodukt in Determinantenform aufschreiben?
New Card	11/18/2024	Wie schreibt man das Spatprodukt \((\vec u\times \vec v)\cdot\vec w\) in Determinantenform?
New Card	11/19/2024	Benenne folgende Abbildungen! :\[\text{Id}_M: \begin{align}\\M\longrightarrow M\\x\longmapsto x\end{align} \,\,=\,?\]\[\pi_1: \begin{align}\\A\times B…
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