Notes in Mathematik::Analysis 2

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Published	10/20/2024	Ein Skalarprodukt auf einem (reellen) Vektorraum V ist eine Abbildung\[\displaylines{\langle .,. \rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \\ \qquad\…
Published	10/20/2024	Wie ist ein Euklidischer Raum definiert?
Published	10/20/2024	Wie lautet die Cauchy-Schwarz Ungleichung, die in jedem euklidischen Vektorraum gilt?
Published	10/20/2024	Sei \(X\) eine Menge. Unter einer Metrik auf \(X\) versteht man eine Abbildung\[\displaylines{d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}…
Published	10/20/2024	Sei \(V\) ein Vektorraum über dem Körper \(K = \mathbb{R}\) oder \(K = \mathbb{C}\). Unter einer Norm auf \(V\) ver…
Published	10/20/2024	Was ist ein normierter Vektorraum?
Published	10/20/2024	Wie wird auf einem normierten Vektorraum \((V, \|\|\ \|\|)\) eine Metrik definiert, um einen metrischen Raum zu erhalten?
Published	10/20/2024	\(\mathbb{R}^n\) ist der Vektorraum aller n-tupel \(x=(x_1,x_2,\ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n\), \((x_i \in \mathbb{R})\). Wie ist das S…
Published	10/20/2024	Verstehe den Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung! \[\displaylines{ \Leftrightarrow : \text{sei } x,y \in V \text{ (Euklidischer VR)}, \; x,y \n…
Published	10/20/2024	Verstehe den Beweis, dass die Metrik immer positiv ist: \(d(x,y) \geq 0\) \[\displaylines{ 0=d(x,x) \leq d(x,z) + d(z,x) = 2d(x,z) \qquad \| …
Published	10/20/2024	Setze ein: normierter Vektorraum, Euklidischer Raum, metrischer Vektorraum_____ \(\subset\) _____ \(\subset\) _____
Published	10/20/2024	Betrachte den algebraischen Cosinus. \[\cos\alpha= \frac{\langle a,b\rangle}{\|\|a\|\|\cdot \|\|b\|\|} \in [-1,1]\]Wie kann es sein, dass dieser \(\…
Published	10/20/2024	Verstehe den Beweis, dass auf jeden normierten Vektorraum eine Metrik definiert werden kann:\[\displaylines{ d(x,y) :=\|\|x-y\|\| \\ \triangle \text{-Ungl…
Published	10/20/2024	Ein Euklidischer Raum ist ein reeller VR (mit Skalarprodukt). Ist \(\mathbb C^n\) ein Euklidischer Raum?
Published	10/20/2024	Bsp.: Ein wichtiges unendlich-dimensionales Beispiel für eine Norm ist die sogenannte \(L^2-Norm\) (wird z.B. in der Quantenmechanik benötig…
Published	10/20/2024	Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum, \(a \in X\) ein Punkt und r > 0.Wie bezeichnet man dann eine offene Kugel mit Mittelpunkt&nb…
Published	10/20/2024	Sei \(X\) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge \(U \subset X \) heißt Umgebung eines Punktes \(x \in X\), wenn was gilt?
Published	10/20/2024	Eine Teilmenge \(U\) eines metrischen Raumes \(X\) heißt wann offen?
Published	10/20/2024	Ist \(B_\epsilon(x)\) offen oder abgeschlossen?
Published	10/20/2024	Was gilt für offene Mengen eines metrischen Raumes \(X\)? (3 Punkte)
Published	10/20/2024	Eine Teilmenge \(A\) eines metrischen Raumes \(X\) heißt wann abgeschlossen?
Published	10/20/2024	Was gilt für abgeschlossene Mengen eines metrischen Raumes \(X\)? (3 Punkte)
Published	10/20/2024	Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(Y \subset X\) eine Teilmenge und \(x \in X\). Wann heißt der Punkt \(x\) Randpu…
Published	10/20/2024	Was ist der Rand der Einheitskugel \(B_1= \{ x \in \mathbb R^n; \|\|x\|\|<1 \}\)?
Published	10/20/2024	Was ist die abgeschlossene Hülle?
Published	10/20/2024	Was ist der offene Kern?
Published	10/20/2024	Sei \(X\) ein metrischer Raum und \((x_n)\) eine Folge in \(X\). Wann heißt die Folge konvergent gegen \(x \in X\)?
Published	10/20/2024	Seien \(x_n= \left(\begin{array}{c} x_n^1 \\ \vdots \\ x_n^k \end{array} \right)\) die Komponenten der Vektoren \(x_n \in \mathbb R^k\)…
Published	10/20/2024	Sei \(X\) ein metrischer Raum. Wann genau ist eine Teilmenge \(A \subset X\) abgeschlossen?Argumentiere mit Folgen!
Published	10/20/2024	Sei \(X\) metrischer Raum. Wann heißt eine Folge \((x_n)\) in \(X\) Cauchy-Folge?
Published	10/20/2024	Wie lautet das Cauchy Kriterium?
Published	10/20/2024	Verstehe den Beweis des Cauchy Kriteriums:\(\Leftarrow\): Sei \(\lim x_n = x\) konvergent in \(\mathbb R^k\) . Dann gibt es z…
Published	10/20/2024	Allgemein definiert man: Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn ...
Published	10/20/2024	Wann ist eine Menge \(\Omega \subset \mathbb R^n\) beschränkt?Hinweis: \(\sup\)
Published	10/20/2024	Wann heißt eine Menge \(K \subset \mathbb R^n\) kompakt?
Published	10/20/2024	Sind folgende Mengen kompakt?\([a,b] \subset \mathbb R\) und \(\overline{B_r(x)}\)abgeschlossene Quader \([a_1,a_2] \times \ldots \time…
Published	10/20/2024	Für \(K \subset \mathbb R^n\) sind äquivalent:\(K\) ist kompakt.......
Published	10/20/2024	Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstrass?(Teilfolge \(\rightarrow a\))
Published	10/20/2024	Was kann man aus dem Satz von Bolzano-Weierstrass folgern?Hinweis: Beschränktheit von Folgen
Published	10/20/2024	(Stetigkeit I)Seien \(X\) und \(Y\) metrische Räume und \(f:X \rightarrow Y\) eine Abbildung. Wann heißt \(f\)&nbsp…
Published	10/20/2024	Eine Abbildung \(f: X \to \mathbb R^n\) mit Werten in \(\mathbb R^n\) wird durch \(n\) Komponenten- Funktionen \(f_…
Published	10/20/2024	Was ist ein Häufungspunkt einer Menge?
Published	10/20/2024	Was versteht man unter Mannigfaltigkeit?
Published	10/20/2024	Seien \(X,Y,Z\) metrische Räume und\[f:X \to Y, \quad g:Y \to Z\]Abbildungen. Die Komposition\[g \circ f: X \to Z\]ist in welchem Fall steti…
Published	10/20/2024	Verstehe den Beweis, dass die Komposition stetiger Funktionen ebenfalls stetig ist:Ist \(\lim x_n =a\), so folgt \(\lim f(x_n) = f(a) = b\),…
Published	10/20/2024	Sei \(X\) ein metrischer Raum und seien \(f,g:X \to \mathbb R\) stetige Funktionen. Sind dann auch die Funktionen\[f+g:X \to \math…
Published	10/20/2024	Für was steht die Bezeichnung \(\mathcal C^0\)?
Published	10/20/2024	Ein Monom vom Grad \(r\) auf dem \(\mathbb R^n\) ist eine Funktion der Form \[(x_1, \ldots , x_n) \mapsto x_1^{k_1}x_2^{k_2} …
Published	10/20/2024	Ist das Skalarprodukt \[\displaylines{ \langle.,.\rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R \\ \qquad \qquad \quad \quad \ (x,y) \maps…
Published	10/20/2024	(\(\epsilon\) - \(\delta\) Kriterium von Stetigkeit)Seien \(X,Y\) metrische Räume und \(a \in X\) ein Punkt. Wann g…
Published	10/20/2024	Seien \(X,Y\) metrische Räume und \(f: X \to Y\) eine Abbildung. Dann gilt:Die Abbildung \(f\) ist genau dann im Punkt&n…
Published	10/20/2024	Seien \(V\) und \(W\) normierte Vektorräume (über \(\mathbb R\) oder \(\mathbb C\)) und sei \[A: V \to W\]eine…
Published	10/20/2024	Verstehe das Beispiel:Sei \(\mathcal C^0[a,b]\) der Vektorraum aller stetigen Funktionen \(f:[a,b] \to \mathbb R\) auf dem Interva…
Published	10/20/2024	Seien \(V\) und \(W\) normierte Vektorräume und \(A:V \to W\) eine stetige lineare Abbildung. Wie wird dann ihre Norm de…
Published	10/20/2024	Was folgt aus der Norm einer linearen Abbildung?Hinweis: Ungleichung
New Card	03/15/2024	Beweis von Stetigkeit auf \(\mathbb R^n\) (wip)
New Card	03/15/2024	Beweis für Satz 2.15. (wip)
Published	10/20/2024	Seien \(X,Y\) metrische Räume und \(f: X \to Y\) eine stetige Abbildung. Was folgt aus der Kompaktheit von \(K \subset X\)&nb…
Published	10/20/2024	Sei \(K\) ein kompakter metrischer Raum und \(f: K \to \mathbb R\) eine stetige Funktion. Dann gibt es gibt Punkte \(p,q \in …
Published	10/20/2024	Sei \(\mathcal C^0(K)\) der Vektorraum aller stetigen Funktionen \(f: K \to \mathbb R\), \(K\) kompakt.Wie wird die&nbsp…
Published	10/20/2024	Seien \(X\) eine beliebige Menge, \(Y\) ein metrischer Raum, sowie\[f_n: X \to Y, \quad n \in \mathbb N \qquad \text{und} \quad f:…
Published	10/20/2024	Seien \(X, Y\) metrische Räume und \(f_n: X \to Y, \ n \in \mathbb N\), eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funkt…
Published	10/20/2024	Sei \(f\) eine Funktion. Sie ist dann eine Abbildung mit welcher Besonderheit?
Published	10/20/2024	Für kompaktes \(K\) folgt was bezüglich der Supremums-Norm?Hinweis: \(\mathcal C^0(K)\)
Published	10/20/2024	Konvergieren Cauchy-Folgen in \(\mathbb R\)?
Published	10/20/2024	Seien \(X,Y\) metrische Räume. Eine Abbildung \(f: X \to Y\) heißt gleichmäßig stetig, wenn was gilt?
Published	10/20/2024	Seien \(X,Y\) metrische Räume und sei \(X\) kompakt. Was gilt dann für jede stetige Abbildung \(f: X \to Y\)?
Published	10/20/2024	(nicht prüfungsrelevant!)Was ist ein Banachraum?
Published	10/20/2024	(nicht prüfungsrelevant!)Sind die folgenden Räume Banachräume?\(\mathbb R^n\) und \(\mathbb C^n\)der Raum \(\mathcal C^0(K)\) alle…
Published	10/20/2024	(nicht prüfungsrelevant!)(Banach'scher Fixpunktsatz)Sei \(A\) eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums \((V, \|\|\cdot\|\|)\). Sei&n…
Published	10/20/2024	Sei \(\Omega \subset \mathbb R^n\) offen und \(x_0 \in \Omega\) mit Koordinaten \(x_0 = \left(\begin{array}{c} x_0^1 \\ \vdot…
Published	10/20/2024	Analysis 1: Funktionen in einer VariableWann genau ist eine Funktion \(f:(a,b) \subset \mathbb R \to \mathbb R\) an der Stelle \(x_0 \i…
Published	10/20/2024	Sei \(\Omega \subset \mathbb R^n\) offen. Wann heißt die Funktion \(f: \Omega \to \mathbb R\) an der Stelle \(x_0 \in \Omega\…
Published	10/20/2024	Was besagt die Einstein'sche Summenkonvention?
Published	10/20/2024	Sind diese Folgerungen korrekt?\(f\) total differenzierbar in \(x_0 \Rightarrow\) \(f\) stetig in \(x_0\)\(f\) tota…
Published	10/20/2024	Wann heißt die Funktion \(f: \Omega \to \mathbb R\) von der Klasse \(\mathcal C^1, f \in \mathcal C^1(\Omega)\)?
Published	10/20/2024	Was folgt aus der Aussage \(f \in \mathcal C^1(\Omega)\) bezüglich Differenzierbarkeit?
Published	10/20/2024	Ordne richtig zu:\[\displaylines{ \_\_\_\_\_ \longrightarrow \_\_\_\_\_ \longrightarrow \_\_\_\_\_ \\ \downarrow \\ \_\_\_\_\_ }\](total differenzierb…
Published	10/20/2024	Formulierung mittels Landau-Symbolen:Wann genau ist eine Funktion \(f: \Omega \to \mathbb R\) in \(x_0 \in \Omega\) differenzierba…
Published	10/20/2024	Sei \(\Omega \subseteq \mathbb R^n\) offen, seien \(f,g: \Omega \to \mathbb R\) in \(x_0 \in \Omega\) differenzierbar. D…
Published	10/20/2024	Kettenregel V1:Sei \(g: \Omega \to \mathbb R\) in \(x_0 \in \Omega\) differenzierbar und \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) …
Published	10/20/2024	Kettenregel V2:Sei \(I \subset \mathbb R\) und \(\Omega \subseteq \mathbb R^n\) offen. Sei weiters \(g: I \to \Omega\) a…
Published	10/20/2024	Sei \(f: \mathbb R^n \to \mathbb R\) eine Funktion. Durch was ist das totale Differential \(df\) gegeben?
Published	10/20/2024	Seien \[g: \mathbb R \to \mathbb R^n, t \mapsto g^i(t) \]\[f: \mathbb R^n \to \mathbb R, x^i \mapsto f(x)\] Funktionen. Wie sehen ihre Diff…
Published	10/20/2024	Sei \(f: \Omega \to \mathbb R\) differenzierbar in \(x_0 \in \Omega\) und sei \(v \in \mathbb R^n \setminus \{0\}\). Sei&nbsp…
Published	10/20/2024	(Mittelwertsatz der Differentialrechnung)Sei \(\Omega \subseteq \mathbb R^n\) offen. Sei \(f: \Omega \to \mathbb R\) differenzierb…
Published	10/20/2024	Sei  \(\Omega \subseteq \mathbb R^n\) offen. Sei  \(f: \Omega \to \mathbb R\) differenzierbar, \(x_0,x_1 \in \Omega\) un…
Published	10/20/2024	(stetige Abhängigkeit vom Parameter)Sei \([a,b] \subset\mathbb R\) kompaktes Intervall, \(U \subset \mathbb R^n\) beliebig und\[f:…
Published	10/20/2024	(differenzierbare Abhängigkeit vom Parameter)Seien \(I,J \subset \mathbb R\) kompakte Intervalle und\[f: I \times J \to \mathbb R, \quad (x,…
Published	10/20/2024	Was ist ein Vektorfeld?(Mathematisch und in Worten)
Published	10/20/2024	Was ist eine Differentialform?
Published	10/20/2024	Was sind andere Bezeichnungen für die Differentialform?
Published	10/20/2024	Was ist der Dualraum?
Published	10/20/2024	Sei \(x = \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \end{array} \right) \in \mathbb R^n\). Vektorfeld \(v(x) = \left( \begin{array}{c} v^…
Published	10/20/2024	Sei \(f \in \mathcal C^1(\Omega)\). Das durch welche Gleichung definierte Vektorfeld \(\nabla f\) heißt Gradient von \(f\)?
Published	10/20/2024	Wie kann man mittels des Skalarprodukt \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) auf \(\mathbb R^n\) ein Vektorfeld \(v\) mit einer…
Published	10/20/2024	(Bedeutung von \(\nabla f\))Sei \(f \in \mathcal C^1(\Omega)\). Dann gibt \(\nabla f\) die Richtung und den Betrag des steilsten A…
Published	10/20/2024	Sei \(\Omega \subset \mathbb R^n\) offen. Wie wird ein Weg definiert?
Published	10/20/2024	Sei \(\lambda = \sum \lambda_i(x) dx^i\) eine 1-Form, d.h. \((\lambda_1(x), \ldots, \lambda_n(x)) \in \mathcal C^0(\Omega, \mathbb R^n)…
Published	10/20/2024	Ist folgende Behauptung wahr?Das Wegintegral \(\smallint_\gamma \lambda\) ist unabhängig von orientierungserhaltenden Umparametrisierungen v…
Published	04/20/2024
Published	04/20/2024	Wie lautet die Formel zur Berechnung der Feldstärke einer unendlich ausgedehnten (geladenen) Linie?
Published	04/20/2024	In welchen Zusammenhang stehen die Feldstärke mit dem Abstand von:Punktladungunendlich ausgehnte geladene Linieunendliche ausgedehnte geladene Pl…
Published	10/20/2024	Was sind Dualräume?
Published	10/20/2024	Nicht alle Differentialformen sind welche Differentiale?
Published	10/20/2024	Das Skalarprodukt erlaubt es, Vektorfelder mit Differentialformen zu assoziieren.Was bedeutet das?
Published	10/20/2024	Definition.Gradient allg. mit Skalarprodukt
Published	10/20/2024	Bedeutung.Gradient
Published	10/20/2024	Definition.Weg
Published	10/20/2024	Definition.Wegintegral
Published	10/20/2024	Wann gilt folgender Ausdruck?\[\int\limits_{\gamma_1+\gamma_2}\lambda=\int\limits_{\gamma_1}\lambda+\int\limits_{\gamma_2}\lambda\]
Published	10/20/2024	Was folgt aus folgendem Ausdruck für die Umparametrisierung des Weges mit anderem Vorzeichen?\[\int\limits_{\gamma_1+\gamma_2}\lambda=\int\limits_{\ga…
Published	10/20/2024	Folgerung. Sei \(f\in\mathcal C^1(\Omega)\) und \(\gamma\in\mathcal C^1_{p.w.}\big([0,1]\big)\) ein Weg, dann gilt:\(\int\lim…
Published	10/20/2024	Satz.Sei \(\Omega\subset \mathbb R^n\) offen und wegzusammenhängend.Sei \(f\subset\mathcal C^1(\Omega)\) mit \(df=0\)Was sagt…
Published	10/20/2024	Def. Was bedeutet Wegzusammenhängend?
Published	10/20/2024	Satz.Sei \(\lambda \in \mathcal C^0\big(\Omega,\mathbb R^{n\,*}\big)\) Differetialform.Drei äquivalente Aussagen:1. \(\exists f \in \ma…
Published	10/20/2024	Definition.Wegintegral (Anwendung)mit Parametrisierung \(\gamma\) und Vektorfeld \(\vec v\)
Published	10/20/2024	Definition Länge und Anmerkung.orientierter Weg: \(\gamma\in\mathcal C^1([a,b],\,\mathbb R^n)\)mit \(\dot\gamma(x)\neq0\)
Published	10/20/2024	Eigenschaften eines Skalarprodukts auf \(\mathbb{C}\)
Published	10/20/2024	Definition: Euklidischer Raum
Published	10/20/2024	Cauchy-Schwaz Ungleichung + Beweisidee
Published	10/20/2024	Definition Metrik auf \(X\)
Published	10/20/2024	Folgerung aus Definition der Metrik auf \(X\)(metr. Raum + Ungleichung mit Definitheit)
Published	10/20/2024	Definition.Norm
Published	10/20/2024	Definition.Normierter Vektorraum
Published	10/20/2024	Ordne nach "Enthaltung":metrische Räume, Euklidische Räume, normierte Räume
Published	10/20/2024	Definition.Umgebung
Published	10/20/2024	Definition offene Kugel
Published	10/20/2024	Definition offene Menge
Published	10/20/2024	Was gilt für offene Mengen \(Y\) eines metrischen Raumes \(X\)bezüglich der leeren Menge und der Menge selbstSchnittenVereinigunge…
Published	10/20/2024	Was gilt immer für abgeschlossene Mengen \(Y\) eines metrischen Raumes \(X\) bezüglich...?der leeren Menge und der Menge selb…
Published	10/20/2024	Definition Randpunkt
Published	10/20/2024	Definition abgeschlossene Menge
Published	10/20/2024	Definition Konvergenz einer Punkt-Folge (\(\varepsilon\land N\))
Published	10/20/2024	Punktfolgen, "Aussehen"
Published	10/20/2024	Satz über Konvergenz von Punktfolgen:Formuliere eine äquivalente Aussage! (Verwende \(\lim\))Folge \((x_n)\) konvergiert gegen \(x…
Published	10/20/2024	Satz über Abgeschlossenheit des Raums mit (Konvergenz von) Folgen
Published	10/20/2024	Definition Cauchy-Folge
Published	10/20/2024	Satz. Cauchy-Kriterium
Published	10/20/2024	Definition.Vollständigkeit eines Raums (über Folgen)
Published	10/20/2024	Definition. Beschränkte Menge
Published	10/20/2024	Definition. Kompakte Menge
Published	10/20/2024	Satz von Boltzano-Weierstraß + Folgerung
Published	10/20/2024	Definition Stetigkeit über \(\lim\)("2 Varianten")
Published	10/20/2024	Satz über Stetigkeit einer Komponenten-Funktion
Published	10/20/2024	Wann ist die Komposition zweier Abbildungen \(f,g\) stetig?Argumentiere mit der Stetigkeit von \(f,g\)!
Published	10/20/2024	Abstrakte Definition einer FunktionVerwende das Wort "Menge"!
Published	10/20/2024	Was für einen Vektorraum bilden alle stetigen Funktionen?Wie ist die Notation?
Published	10/20/2024	\(\varepsilon-\delta\) Kriterium für Stetigkeit von \(f\)(2 Versionen, über Metrik und über offene Kugeln)
Published	10/20/2024	Satz: Seien \(X,Y\) metrische Räume und \(f:X\to Y\) eine Abbildung. Dann gilt was für die Stetigkeit der Abbildung bezü…
Published	10/20/2024	Satz über Stetigkeit linearer Abbildungen:Wie formulierst du mithilfe einer Konstante, dass die Abbildung \(A\) stetig ist?
Published	10/20/2024	Definition Norm einer linearen Abbilding \[A:V\to W\]
Published	10/20/2024	Definition Supremumsnorm auf \(\Omega\subseteq\mathbb R^n\)
Published	10/20/2024	Satz: Bilder kompakter Mengen sind kompakt.Formuliere mathematisch! Welche Bedingungen muss die Abbildung erfüllen?
Published	10/20/2024	Satz. Kompaktes Intervall mit Min. und Max. der Funktion
Published	10/20/2024	Definition: Supremumsnorm einer Funktion Bonus: normierter VR aller stetigen Funktionen. Wie ist die Notation?
Published	10/20/2024	Definition: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge (\(\varepsilon \land N\))
Published	10/20/2024	Satz, Stetigkeit stetiger Funktionenfolgen und Funktion:Was folgt für die Grenzwertfunktion, wenn die Folgenglieder gleichmäßig stetig sind?
Published	10/20/2024	Satz über Vollständigkeit von \(\mathcal{C} ^0(K)\):Vollständig bezüglich was?Was muss \(K\) erfüllen?
Published	10/20/2024	Definition.Gleichmäßige Stetigkeit.(über \(\varepsilon\land\delta\))
Published	10/20/2024	Satz über kompakte Räume und Stetigkeit:Seien \(X,Y\) metrische Räume und \(X\) kompakt. Welche Eigenschaft folgt daraus für …
Published	10/20/2024	Definition partielle Ableitung an der Stelle \(x_0\in \Omega\subset \mathbb{R}^n\), (\(\Omega\) offen), in Richtung \(e_i\) \…
Published	10/20/2024	Definition Diff'barkeit an der Stelle \(x_0\in (a,b)\) genau dann, wenn \(f\) bei \(x_0\) durch eine affin-lineare Funkt…
Published	10/20/2024	Definition Diff'barkeit in \(\mathbb{R}^n\):\(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) offen, \(f:\Omega\to \mathbb{R}\) heißt an der Stelle&nb…
Published	10/20/2024	Totales Differential von Funktionen \(f\in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n)\) und Spezialfall \(n=1\)
Published	10/20/2024	Def. \(f:\Omega \to \mathbb{R}\) heißt von der Klasse \(\mathcal{C}^1\),\[f\in\mathcal{C}^1(\Omega)\]falls...
Published	10/20/2024	Satz Sei \(f\in \mathcal{C}^1(\Omega)\),dann ist \(f\) an jeder Stelle...?
Published	10/20/2024	Was folgt aus der Information:\(f\) ist stetig partiell diff'bar
Published	10/20/2024	Def. über LandausymbolFunktion \(f:\Omega\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ist diff'bar in \(x_0\in\Omega\),genau dann wenn...
Published	10/20/2024	Def. Landausymbol \(o\)
Published	10/20/2024	Satz: Diff'regeln auf \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)1. \(d(f+g)(x_0)=?\)
Published	10/20/2024	Satz: Diff'regeln auf \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)2. \(d(f\cdot g)(x_0)=?\)
Published	10/20/2024	Satz: Diff'regeln auf \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)3. \(d\left(\frac f g\right)(x_0)=?\)
Published	10/20/2024	Satz: Diff'regeln auf \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)Kettenregel, 1. Version: \(\mathbb{R}^n\overset{g}{\to}\mathbb{R}\overset{f}{\to}\mathbb{…
Published	10/20/2024	Satz: Diff'regeln auf \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)Kettenregel, 2. Version: \(\mathbb{R}\overset{g}{\to}\mathbb{R}^n\overset{f}{\to}\mathbb{…
Published	10/20/2024	Vorgehen/Idee bei Richtungsableitung \(f:\Omega\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \), diff'bar in \(x_0\in\Omega\) und \(v\in\mathb…
Published	10/20/2024	Richtungsableitung, Formel\(f:\Omega\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \), diff'bar in \(x_0\in\Omega\) und \(v\in\mathbb{R}^n,\,\\|v\\|=1…
Published	10/20/2024	Mittelwertsatz d. Differentialrechnung\(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\) offen, \(f:\Omega\to\mathbb{R}\) total diff'bar\(\Longrightarrow …
Published	10/20/2024	Wann darf man unter dem Integral differenzieren?
Published	10/20/2024	Definition.Vektorfeld
Published	10/20/2024	Definition.DifferentialformBonus: Was ist ein Dualraum (+ formale Definition)
Published	10/20/2024	Was bedeutet es, wenn eine Funktion \(f\in\mathcal C^n(\Omega,\mathbb R^n)\)ist?
Published	10/20/2024	Was bedeutet folgende Notation?\(f\in\mathcal C^n(\Omega,\mathbb R^n)\)
Published	10/20/2024	Was muss gelten, damit der Satz von Schwarz erfüllt ist?(partielle Ableitungen)
Published	10/20/2024	Sei \(v=\big(v^i(x)\big)_{i\in\set{1,...,n}}\in\mathcal C^1(\Omega,\mathbb R^n)\) ein Vektorfeld (z.B. ein Kraftfeld).Was ist die&…
Published	10/20/2024	Satz von Taylor. Sei \(f\in\mathcal C^m(\Omega),\,x_0,x_1\in\Omega\subset \mathbb R^n\)\(x_t:=(1-t)\cdot x_0+t\cdot x_1,\,t\in[0,1] \)dann&n…
Published	10/20/2024	Definition Taylor-Polynom m-ter Ordnung,um Entwicklungspunkt \(x_0\).
Published	10/20/2024	Definition Mächtigkeit einer Menge \(\mathcal M\).
Published	10/20/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[\partial^\alpha f:=?\]
Published	10/20/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[\|\alpha\|:=?\]Wie bezeichnet man diese Größe?
Published	10/20/2024	Definition, Multi-Index-Notation. \[x^\alpha:=?\]Welche Ordnung hat dieses Polynom?
Published	10/20/2024	Definition, Multi-Index-Notation. Taylorpolynom m-ter Ordnung der Funktion \(f\in\mathcal C^m(\Omega),\;x_0,x_1\in \Omega\)
Published	10/20/2024	Satz von Taylor.Sei \(f\in\mathcal C^m(\Omega),\,x_t=(1-t)\cdot x_0+t\cdot x_1\).Dann gilt:\[\forall\, (x_0\land x_1)\,\exists !\, \vartheta\in(0…
Published	10/20/2024	Definition Hesse-Matrix.Sei \(f\in\mathcal C^2(\Omega),\,x_0\in \Omega\subset\mathbb R^n\)
Published	10/20/2024	Definition quadratische Form.(ist eine Abbildung)Sei \(\xi\in\mathbb R^n\)
Published	10/20/2024	Satz zu (striktem) Minimum von \(f: \Omega\subset \mathbb R^n\to \mathbb R\)Sei \(f\in \mathcal C^2(\Omega),\,x_0\in \Omega\)(notwendige und…
Published	10/20/2024	Taylorpolynom 2. Ordnung,mit Entwicklungspunkt \((x_0,y_0)\)\(f\in\mathcal C^2(\Omega):\Omega \subset\mathbb R^2\to \mathbb R\)\((x,y)\mapsto f(x…
Published	10/20/2024	Wann heißt ein Punkt \(x_0 \in \Omega\) kritischer Punkt der Funktion \(f\)?
Published	10/20/2024	\[\xi \mapsto \xi^T \cdot (Hess_f) \cdot \xi =: Hess(\xi,\xi)\]Wie heißt diese quadratische Form?
Published	10/20/2024	Definition. Wann heißt eine Funktion \(f\in\mathcal C^\infty(\Omega)\)reell-analytisch auf \(\Omega\)?
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