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Notes in Mathématiques::Classiques::Thomas lefèvre

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Certaines cartes sont marqués d'un drapeau rouge. Cela signifie qu'elles comportent une ou plusieurs erreurs, pouvant aller d'une faute de frappe à une monstruosité mathématique. Je les corrigerais quand j'aurais le temps. En attendant, utilisez les avec prudence.

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Published 01/26/2025 Produit eulérien (approche probabiliste)Pour démontrer le produit eulérien de la fonction \(\zeta\) de manière probabiliste : Soit \(s …
Published 01/27/2025 Lemme de Borel-Cantelli. Soit \((A_n)_{n \geqslant 0}\) une suite d'évènements. On pose \(\lim \sup A_n = \displaystyle \bigcap_{p…
Published 01/26/2025 Loi du zéro-un de BorelSoit \((A_n)_{n \geqslant 0}\) une suite d'évènements indépendants. On suppose que la série \(\displaystyle \sum…
Published 01/26/2025 Formule du crible de PoincaréSoient \(A_1, \ ... ,\ A_n\) des évènements. Montrer \({{c1::P\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i\righ…
Published 01/26/2025 Lemme de GrönwallSoient \(f, g, y: I \rightarrow \mathbb{R}\) des applications continues, avec \(g \geqslant 0\).On suppose \(\for…
Published 01/26/2025 Zéros entrelaçés des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2 (partie 1)Soit \(q:I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue. …
Published 01/26/2025 Zéros entrelaçés des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2 (partie 2)Soit  \(q:I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue.…
Published 01/26/2025 Zéros entrelaçés des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2 (partie 3)Soit \(q:I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue. …
Published 01/26/2025 les solutions de \(Y' = AY\) ont une limite nulle en \(+ \infty\) si et seulement si \({{c1::\forall \lambda \in \mathrm{Sp_{…
Published 01/26/2025 les solutions de \(Y' = AY\) ont une limite nulle en \(+ \infty\) si et seulement si \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp_{\mathb…
Published 01/26/2025 les solutions de \(Y' = AY\) ont une limite nulle en \(+\infty\) si et seulement si \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp_{\mathbb…
Published 01/26/2025 Exponentielle de l'endomorphisme de dérivation \(\delta\)\[\forall P \in \mathbb{R}[X],\ \mathrm{exp}(\delta)(P) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\in…
Published 01/26/2025 formule d'inversion de PascalOn pose \(\forall n \in \mathbb{N}, a_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_k \mathrm{\ avec \ } \displaysty…
Published 01/26/2025 Formule intégrale de CauchySoit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_n z^n\) une série entière de rayon de convergence \(R \in ]0, +\…
Published 01/26/2025 Théorème de LiouvilleSoit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(+\infty\) dont…
Published 01/26/2025 Intégrale de Dirichlet. Pour calculer \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d}t\) :On pose : \(F(x) = {{c1::\d…
Published 01/26/2025 Intégrales de Wallis : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \mathrm{W}_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2} } (\cos(t))^n \mathrm{d}t = \displaystyle …
Published 01/26/2025 Intégrales de Wallis (formule de récurrence)Soit \(n \in \mathbb{N}\).\[\mathrm{W}_{n+2} = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2} } \cos^{n+2}(t) \m…
Published 01/26/2025 Intégrales de Wallis (équivalent asymptotique)On a : \(\forall n \in \mathbb{N},\ {{c1::(n+1)\mathrm{W}_{n+1}\mathrm{W}_n = \frac{\pi}{2} }}\). (…
Published 01/26/2025 Intégrale de Gauß (partie 1)Pour montrer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle {{c1::\int_0^{\sqrt{n} } \left(1-\frac{t^2}{n}\right)…
Published 01/26/2025 Intégrale de Gauß (partie 2)On a : \(\forall n \in \mathbb{N}\ \backslash\ \{0\}, \displaystyle \int_0^{\sqrt{n}} \left(1-\frac{t^2}{n}\right)^n\…
Published 01/26/2025 Comparaison série-intégrale, cas non monotoneOn suppose \(f: ]0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{C}\) {{c1::de classe \(C^1\) et tell…
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un groupe de cardinal \(p\) premier.{{c1::Soit \(g \in G\ \backslash\ \{1_G\}\). L'ordre de \(g\) divise…
Published 01/26/2025 On suppose que \(M \in \mathrm{M_n}(\mathbb{Z})\) admet un inverse dans \(\mathrm{M_n}(\mathbb{Z})\). Montrer que \({{c1::\det(M) …
Published 01/26/2025 Soit \(M \in \mathrm{M_n}(\mathbb{Z})\). On suppose que \(\det(M) \in \{-1,\ 1\}\). Montrer que {{c1::\(M\) admet un inverse dans …
Published 01/26/2025 Matrice à diagonale strictement dominanteSoit \(A = ((a_{i,j}))_{1\leqslant i, j \leqslant n} \in \mathrm{M_n}(K)\) telle que \(\forall…
Published 01/26/2025 Déterminant par blocs (On suppose : \(CD=DC\) et \(D\) inversible)On a : \(\begin{pmatrix}A&B \\ C&D\end{pmatri…
Published 01/26/2025 Déterminant par blocs (On suppose : \(CD = DC\)){{c1::\(\det\begin{pmatrix}A&B \\ C&D-\frac{1}{p}I_n\end{pmatrix} = \det(A(D-\frac{…
Published 01/26/2025 Soit \(M, N \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})\), semblables dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\). Montrer qu'elles sont semblables dans \(\math…
Published 01/26/2025 Isomorphisme réciproque du théorème chinoisSi \(um + vn = 1\), alors \(\Phi^{-1}(a \mathrm{\ mod\ } m,\ b \mathrm{\ mod\ } n) = {{c1::avn + …
Published 01/26/2025 Montrer que \(\displaystyle \sum_{d\ |\ n} \varphi(d) = n\).On note \(\mathcal{O}_d\) {{c1::l'ensemble des éléments d'ordre \(d\)&…
Published 01/26/2025 endomorphisme stabilisant toutes droites{{c2::\(\forall \vec x \in E\ \backslash\ \{\vec 0\},\ \mathrm{Vect}(\vec x)\) est stable par \(f\),…
Published 01/26/2025 Matrices compagnons : définitionLa matrice compagnon associée au polynôme \(P = {{c1::X^n + \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_iX^i}}\) est&nb…
Published 01/26/2025 Matrices compagnons : polynôme caractéristiqueOn a \(C_P = \begin{vmatrix}0&1&0&\cdots &0 \\ \vdots& \ddots & \ddots &am…
Published 01/26/2025 Matrices compagnons : Espaces propres\[\forall \lambda \in \mathrm{Sp}_K(C_P),\ \mathrm{Ker}(C_P-\lambda I_n) = {{c1::\mathrm{Vect}_K \begin{pmatrix}1…
Published 01/26/2025 Centre de \(\mathrm{GL}_n(K)\) : \(Z(\mathrm{GL}_n(K)) = \{A \in \mathrm{GL}_n(K)\ |\ \forall M \in \mathrm{GL}_n(K), AM = MA\} \)Soit&…
Published 01/26/2025 Intérieur d'un sous-espace vectoriel strictOn suppose que \(\mathring{F} \neq \emptyset\). Soit \(\vec{a} \in \mathring{F}\). Il existe&nbsp…
Published 01/26/2025 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) ouvert dense dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\)\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) = {{c1::\mathrm{det}^{-1}(\mathbb{C}…
Published 01/26/2025 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcsSoit \((M, N) \in (\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}))^2\). L'application \(\array{\mathb…
Published 01/26/2025 Norme pOn pose \(\forall p \in \mathbb{R}_+^*, \forall \vec x = (x_1, ..., x_n) \in K^n, \|\vec x\|_p = {{c1::\left( \displaystyle \sum_{k=1}^n |…
Published 01/26/2025 Inégalité de HölderOn pose \(\forall p \in \mathbb{R}_+^*, \forall \vec x = (x_1, ..., x_n) \in K^n, \|\vec x\|_p = \left( \displaystyle \sum_{k=…
Published 01/26/2025 Montrer : \(\forall (a, b) \in K^2, ab \leqslant \frac {a^p} p+ \frac {b^q} q\). {{c1::\(\ln\) est concave : \(\forall (a, b)…
Published 01/26/2025 Norme p. Montrer que \(\|\cdot\|_p\) est une norme. (inégalité triangulaire)Soit \((\vec x, \vec y) \in (K^n)^2\). \[(\|\vec …
Published 01/26/2025 Sous-groupes de \(\mathbb{R}\) denses ou monogènes{{c1::Si \(G = \{0\}\) alors \(G = 0\mathbb{Z}\). supposons \(G \neq \…
Published 01/26/2025 Soit \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\).Si \(\varphi\) est continue, alors {{c2::\(\ker(\varphi)\) est l…
Published 01/26/2025 Densité des matrices diagonalisables. Soit \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb{C})\).\[A = P\begin{pmatrix}\lambda_1 I_{\alpha_1}+N_1&\cdots&0 \…
Published 01/26/2025 Différentielle du déterminant\(\det(M + tE_{i, j}) = {{c1::\begin{vmatrix}m_{1,1}&\cdots&m_{1,j}&\cdots&m_{1,n} \\ \vdots&&\v…
Published 01/26/2025 \(O_n(\mathbb R)\) est une partie compacte de \(M_n(\mathbb R)\).{{c1::\(O_n(\mathbb R) = f^{-1}(\{I_n\})\) où \(f : M \mapsto M^\…
Published 01/26/2025 Décomposition OT.Soit \(A \in GL_n(\mathbb R)\).Il existe {{c1::\(O \in O_n(\mathbb R)\) et \(T \in M_n(\mathbb R)\) triangulaire …
Published 01/26/2025 Inégalité de HadamardSoit \(A = M_{\mathcal B_{can} }(C_1, \cdots, C_n)\). Alors \({{c1::|\det(A)| \leqslant \displaystyle \prod_{i=1}^n \|C…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in S_n^+(\mathbb R)\). {{c1::Il existe une unique matrice \(R \in S_n^+(\mathbb R)\) telle que \(A = R^2\)}}.Démons…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in A_n(\mathbb R)\).Les valeurs propres de \(A\) sont {{c1::des imaginaires purs}}.Démonstration :Soient \(\lambda \in S…
Published 01/26/2025 WronskienLe wronskien \(W\) de \((Y_1, ..., Y_n)\) vérifie : \(\forall t \in I, W(t) = {{c1::W(t_0)\exp\left(\displaystyle \i…
Published 01/26/2025 Soit \((x_i)_{i \in I} \in [0, +\infty]^I\).Pour toute {{c1::suite exhaustive \((J_n)_{n \in \mathbb N}\) de parties de \(I\)}}, o…
Published 01/26/2025 Soient \((P_n)_{n \in \mathbb N}\) une suite de fonctions {{c2::polynomiales}} qui {{c2::converge uniformément sur \(\mathbb R\)}}&nbsp…
Published 01/26/2025 Montrer que \(\mathbb Q[z]\) est un sous-corps de \(\mathbb C\).Soit \(\omega \in \mathbb Q[z]\).{{c1::L'endomorphisme d'espace ve…
Published 01/26/2025 \[{{c1::\nu_p(n!)}} = {{c2::\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac n {p^k} \right\rfloor }}\]Démonstration :\({{c1::\nu_p(n!)}} = {{c3:…
Published 01/26/2025 Soit \(f \in \mathrm C^0([a, b], \mathbb R)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N, \displaystyle \int_a^b x^nf(x)\mathrm dx = 0\). Mont…
Published 01/26/2025 Soit \(f : [a, +\infty[ \to \mathbb C\) {{c1::uniformément continue}} et telle que \({{c1::\displaystyle \int_a^{+\infty} f}}\) co…
Published 01/26/2025 Montrer que la série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} \sin(\pi(2+\sqrt3)^n)\) converge.On a \({{c1::\forall n \in \mathbb N, (2 - \s…
Published 01/26/2025 Soit \(f : \mathbb R_+ \to \mathbb R\) de classe \(\mathrm C^2\) telle que \(f^2\) et \(f''^2\) soient intégra…
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un groupe de cardinal impair. Montrer \(\forall a \in G, \exists! b \in G, a= b^2\).Existence : {{c1::L'ordre de \…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau commutatif. {{c2::\(A\) est un corps}} \(\Leftrightarrow\) {{c1::les seuls idéaux de \(A\) son…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau commutatif et intègre qui admet un nombre fini d'idéaux. Alors {{c1::\(A\) est un corps}}.Pour tout \(x \in A…
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un groupe possédant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que {{c1::\(G\) est fini}}.On a \({{c1::G = \displaystyle \…
Published 01/26/2025 Soient \(G\) un groupe fini commutatif, \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \(\chi\) un caractère de \(H\). …
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un groupe fini commutatif. Pour tout \(p \in \mathbb P\) divisant \(\mathrm {card}(G)\), il existe un élément d'or…
Published 01/26/2025 Soit \(x = \frac p q \in \mathbb Q\) un entier algébrique. Alors {{c1::\(x \in \mathbb Z\)}}.On a : \({{c1::\frac {p^n}{q^n} + \display…
Published 01/26/2025 Soit \(p\) un nombre premier impair. Pour tout \(y \in \mathbb Z\), \({{c1::y^{\frac {p-1} 2} \equiv 1 \mathrm {\ mod\ } p}} \Left…
Published 01/26/2025 Soient \(K \subset L \subset M\) trois corps tel que {{c1::\(M\) est de \(K- \)dimension finie}}. Alors \({{c1::\dim_K(M) = \…
Published 01/26/2025 Théorème de Wilson : Pour tout nombre premier p, {{c1::\((p-1)! \equiv -1 \mathrm {\ mod\ } p\)}}. On a {{c1::\(X^{p-1} - 1 = \displaystyle …
Published 01/26/2025 Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p \equiv 1 \mathrm {\ mod\ } 4\). Alors il existe \(s \in \mathbb Z\) tel que \(s…
Published 01/26/2025 Soit \(p\) un nombre premier. Alors \((X+\bar 1)^p = X^p + \bar 1\).On a {{c1::\(X^p - X = \displaystyle \prod_{k=0}^{p-1} (X- \bar k)\…
Published 01/26/2025 On pose \(\zeta = e^{\frac {2i\pi} p}\) et \(\tau_p = \displaystyle \sum_{n \in \mathbb Z/p \mathbb Z} \zeta^{n^2}\)où \(p \)&nbsp…
Published 01/26/2025 Anneau de Boole : Soit \(A\) un anneau tel que \(\forall x \in A, x^2 = x\). Alors \(A\) est {{c1::commutatif}}, et si \…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau, et \(x \in A\) un élément nilpotent.\({{c1::1 - x}}\) est inversible (\({{c1::\displaystyle \sum_{k=0}^…
Published 01/26/2025 Montrer que \(A_n = \ker(\varepsilon)\) est l'unique sous-groupe de \(S_n\) de cardinal \(\frac {n!} 2\).{{c1::Pour tout 3-cy…
Published 01/26/2025 Montrer que \(y^2 = x^3 + 7\) d'inconnue\((x, y) \in \mathbb Z^2\) n'admet pas de solutions.{{c1::Si \(x\) est pair, \(y…
Published 01/26/2025 Cyclicité de \((\mathbb Z \backslash p \mathbb Z)^\times\). On pose \(N(d)\) le nombre d'éléments d'ordre \(d\) dans \((…
Published 01/26/2025 Critère de Korselt. Soient \(m, n \geqslant 2\). \({{c2::(\forall a \in \mathbb N, n | a^m-a)}} \Leftrightarrow {{c1::(\forall p |n, p^…
Published 01/26/2025 Nombres premiers de Mersenne. Soient \(a \geqslant 2\) et \(n \geqslant 2\). Si \(a^n - 1\) est premier, alors {{c1::\(a= 2 \…
Published 01/26/2025 Nombres premiers de Fermat. Soient \(a \geqslant 2\) et \(n \geqslant 2\). Si \(2^n + 1\) est premier, alors {{c1::\(n\…
Published 01/26/2025 Inégalité de Young. Soit \(f : \mathbb R^+ \to \mathbb R\) une fonction {{c1::dérivable et strictement croissante telle que \(f(0)…
Published 01/26/2025 Première formule de la moyenne. Soit \(f : {{c1::[a, b]}} \to \mathbb {{c1::R}}\) une fonction {{c1::continue}} et \(g : {{c1::[a,…
Published 01/26/2025 Seconde formule de la moyenne. Soient \(f : {{c1::[a, b]}} \to \mathbb R\) une fonction {{c1::positive décroissante de classe \(\m…
Published 01/26/2025 Critère de Pépin. Soit \(n \in \mathbb N\). On pose \(f_n = 2^{2^n} + 1\). {{c1::S'il existe \(a \in \mathbb Z\) tel que&nbsp…
Published 01/26/2025 Soit \(z \in \mathbb C\) tel que \(|z| < 1\). On note \(d(n)\) le nombre de diviseurs positifs de \(n \in \mathbb N^*…
Published 01/26/2025 Soit \(n \in \mathbb N \backslash \{0, 1\}\) tel que \(\forall k \in \mathbb [\![ 1, n-1 ]\!], n| \begin{pmatrix}{} n \\ k \end{pmatrix…
Published 01/26/2025 Montrer que le nombre de diviseurs premiers de \(n \in \mathbb N \backslash \{0\}\), noté \(r\), est inférieur ou égal à \(\frac {…
Published 01/26/2025 Soit \(n \in \mathbb N \backslash \{0, 1\}\). Montrer que \({{c1::\frac {n\ln(2)} {\ln(n) + \ln(2)} }} \leqslant \varphi(n)\).On a {{c2::\(\…
Published 01/26/2025 Déterminer les morphismes de corps \(f \) de \(\mathbb R\).{{c1::\(\forall x \in \mathbb Q, f(x) = x\).}}{{c1::Si \(x > y\),&nb…
Published 01/26/2025 On pose \(D(S_n) = \{ \sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1} | (\sigma, \tau) \in S_n^2 \}\). Montrer que \(D(S_n) = A_n\).{{c1::On a \(D(S_n) …
Published 01/26/2025 Montrer que \(\varepsilon : S_n \to \{-1, 1\}\) est l'unique morphisme non trivial de \(S_n\) dans \(\{-1, 1\}\).{{c1::Si&nbs…
Published 01/26/2025 Soit \(K\) un corps fini. Montrer que \(\mathrm{card}(K) = {{c1::p^d}}\), avec {{c1::\(p \in \mathbb P\) et \(d \in \mathbb N…
Published 01/26/2025 Soient \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} u_n\) et \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} v_n\) deux séries à termes strictement p…
Published 01/26/2025 Règle de Raab-Duhamel.Soit \((u_n)_{n\in \mathbb N}\) une suite à termes strictement positifs tels que \(\frac {u_{n+1} }{u_n} = 1 - \f…
Published 01/26/2025 Règle de Cauchy. Soit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} u_n\) une série à termes strictement positifs telle que \(\displaystyle…
Published 01/26/2025 Soit \(f : \mathbb R \to \mathbb C^*\) une fonction de classe \(\mathrm C^1\), \(2\pi\)-périodique et ne s'annulant pas. On pose&n…
Published 01/26/2025 Preuve de théorème de D'Alembert. On suppose que \(P \in \mathbb C[X]\) non constant ne s'annule pas. On note \(n = \deg(P)\)…
Published 01/26/2025 Théorème des résidus pour les enfants. Soit \(P \in \mathbb C[X]\) dont on note \(\alpha_1, ..., \alpha_n\) ses racines. Mont…
Published 01/26/2025 Soit \((u_n)_{n\in \mathbb N} \in \mathbb R^\mathbb N\). On suppose que \((u_n)_{n \in \mathbb N}\) est décroissante, à termes positifs…
Published 01/26/2025 Soit \((a, d, n) \in (\mathbb N \backslash\{0\})^3\). On suppose \(a^d-1\) divise \(a^n-1\). Montrer que \(d\) divise&nb…
Published 01/26/2025 Soit \((a, n) \in (\mathbb N \backslash\{0, 1\})^2\). Montrer que \(2n\) divise \(\varphi(a^n+1)\).{{c1::Si on note \(k\)&nbs…
Published 01/26/2025 Exposant d'un groupe. Soit \(G\) un groupe commutatif fini. On note \(d\) l'exposant de \(G\), c'est-à-dire le maximum d…
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un groupe commutatif. Soient \(a, b \in G\) des éléments d'ordres \(m, n\) premiers entre eux. Montrer que&nb…
Published 01/26/2025 Soient \(\mathbb K\) un corps et \(G\) un sous-groupe fini de \((\mathbb K^*, \times)\). Montrer que \(G\) est cycl…
Published 01/26/2025 Chiffrement RSA. Soient \(p, q \in \mathbb P\) distincts, \(e \in \mathbb N\backslash\{0\}\) et \(N = pq\). On suppose q…
Published 01/26/2025 Groupe opérant sur un ensemble. Soit \(G\) un groupe et \(X\) un ensemble quelconque.On dit que \(G\) opère sur&nbs…
Published 01/26/2025 Equation aux classes. Soit \(G\) un groupe fini, et \(X\) un ensemble fini. On note \(G_x = \{s \cdot x | s \in G\}\)&nb…
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un groupe fini. {{c1::Il existe une famille finie de sous-groupes stricts non triviaux de \(G\) \((H_i)_{i\in I}\)&nbsp…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb Q[X]\) un polynôme irréductible. Montrer que {{c1::les racines de \(P\) dans \(\mathbb C\) sont sim…
Published 01/26/2025 L'anneau \(A[X]\) n'est pas inversible en général. Soit \(A\) un anneau commutatif intègre qui n'est pas un corps. Soit …
Published 01/26/2025 Déterminer le noyau et l'image de l'application \(\varphi : \mathbb Z/p\mathbb Z[X] \to (\mathbb Z/p\mathbb Z)^{\mathbb Z/p\mathbb Z}\) qui …
Published 01/26/2025 Les \(p\)-groupes. Soit \(p \in \mathbb P\) et \(G\) un groupe fini de cardinal \(p^\alpha\), avec \(\alpha \i…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau commutatif. Un idéal \(\mathcal P \neq A\) est dit premier si \(\forall (x, y) \in A^2, (xy \in \mathcal…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(\mathcal M \neq A\) est un idéal maximal si les seuls idéaux contenant \(\mathc…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer que si \(\mathcal M\) est maximal (les seuls idéaux qui contiennent \(\mathcal M\)&n…
Published 01/26/2025 Soit \(A\) un anneau commutatif principal. Montrer qu'un idéal \(\mathcal P \neq \{0\}\) premier (\(xy \in \mathcal P \Rightarrow …
Published 01/26/2025 On dit qu'un anneau commutatif \(A\) est noethérien si tout idéal de \(A\) est engendré par un nombre fini d'éléments.Montrer que&…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb Z/p\mathbb Z[X]\). Montrer que \((P(X))^p = P(X^p)\).{{c1::On va le montrer par récurrence sur le degré de \(P\). …
Published 01/26/2025 On pose \(\mathbb Z[i] = \{x + iy | (x, y) \in \mathbb Z^2\}\) et \(\mathbb Q(i) = \{x + iy | (x, y) \in \mathbb Q^2\}\). Montrer que&n…
Published 01/26/2025 Montrer que \((\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^\times\) est cyclique pour \(p \in \mathbb P\) impair. {{c1::Si \(u \in \mat…
Published 01/26/2025 Montrer qu'il n'existe pas d'application \(f : \mathbb N \to \mathbb N\) telle que \(\forall n \in \mathbb N, f(f(n)) = n + \alpha\), o…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb R[X]\) scindé. Montrer que toute racine multiple de \(P'\) est aussi racine de \(P\). Soient \(\lam…
Published 01/26/2025 Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. Calculer le \(\mathrm{pgcd}\) de \(X^m - 1\) et \(X…
Published 01/26/2025 Montrer que si \(P \in \mathbb Z[X]\) est irréductible sur \(\mathbb Z[X]\), il est irréductible sur \(\mathbb Q[X]\).{{c1::Si&nbs…
Published 01/26/2025 Critère d'Eisenstein. Soit \(P = \displaystyle \sum_{i=0}^na_iX^i \in \mathbb Z[X]\). On suppose qu'il existe \(p \in \mathbb P\) …
Published 01/26/2025 Soit \(p \in \mathbb P\). Montrer que \(\Phi_p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} X^k\) est irréductible dans \(\mathbb Q[X]\).{{c1:…
Published 01/26/2025 Soit \(\mathbb K\) un corps fini de cardinal \(n\). Montrer qu'il existe un polynôme non constant de \(\mathbb K[X]\) sans ra…
Published 01/26/2025 \((\mathbb Z/2^\alpha\mathbb Z)^\times\) n'est pas cyclique si \(\alpha \geqslant 3\). {{c1::Par récurrence, \(5^{2^k} \equiv 1 + …
Published 01/26/2025 L'ensemble des nombres algébriques est un corps. Soient \(x \in \bar {\mathbb Q}\backslash\{0\}\) et \(P \in \mathbb Q[X] \backsla…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb C[X]\) un polynôme de degré \(n \in \mathbb N\backslash\{0\}\) tel que \(\forall n \in [\![ 0, n ]\!], P…
Published 01/26/2025 Théorème de Mason. Soit \(n \geqslant 3\). Montrer que si \((P, Q, R) \in \mathbb C[X]^3\) vérifie \(P^n + Q^n = R^n\) a…
Published 01/26/2025 Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que le nombre de solutions \(N\) de \(x^2 + y^2 \equiv 1 \mod p\) vaut {{c1…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb R[X]\) tel que \(P \geqslant 0\). Montrer qu'il existe \((A, B) \in \mathbb R[X]^2\) tel que \(P = …
Published 01/26/2025 Sommes de Gauß. Montrer que pour tout \(a \in \mathbb Z\) premier avec \(p \in \mathbb P\) impair, \({{c1::\displaystyle…
Published 01/26/2025 Sommes de Gauß. On pose \(S(a) = \displaystyle \sum_{\bar x \in\mathbb Z/p\mathbb Z} \exp\left(\frac {2i\pi ax^2} p\right)\). Montrer q…
Published 01/26/2025 Dénombrer les solutions de \(x^2 + y^2 \equiv 1 \mod p\). On note \(N\) le nombre de solutions.On a \(N = {{c1::\displaystyle…
Published 01/26/2025 Fonction de Möbius. On pose \(\mu(n) = 0\) si \(n\) est divisible par un carré non trivial, et \(\mu(n) = (-1)^r\) …
Published 01/26/2025 Montrer que \({{c3::\varphi(n) = \displaystyle \sum_{d|n} \mu(d) \frac n d}}\), où \(\varphi\) est la fonction d'Euler et \(\mu\)&…
Published 01/26/2025 Soit \(\alpha \in \mathbb R\) un nombre algébrique de degré \(2\). Montrer qu'il existe \(d \in \mathbb Q^+\) tel que \(…
Published 01/26/2025 Soit \(\forall n \in \mathbb N, b_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a_k\). Montrer que \(\forall n \in \ma…
Published 01/26/2025 Dénombrer le nombre le surjection de \([\![ 1, n ]\!]\) dans \([\![ 1, k ]\!]\), qu'on note \(s_{n, k}\).{{c1::Pour définir une ap…
Published 01/26/2025 Calculer le déterminant de \(A = \begin{pmatrix} a & c & \cdots & c \\ b & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddot…
Published 01/26/2025 Matrice tridiagonale. Donner les éléments propres de \(\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & \cdots & 0 \\ \gamma & \alph…
Published 01/26/2025 Lemme du KK. Soit \(A \in \mathrm M_2(\mathbb Z)\) telle qu'il existe \(n \geqslant 1\) tel que \(A^n = I_2\). Montrer q…
Published 01/26/2025 Soit \(E\) de dimension finie non nulle \(n\). Soient \(f_1, ..., f_n\) des endomorphismes nilpotents qui commutent deux à de…
Published 01/26/2025 Soit \(p \in \mathbb P\). Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb Z/p\mathbb Z) \). Montrer que {{c3::\(A^p = A\)}} si et seulement si {{c2::\…
Published 01/26/2025 Trouver \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb R)\) telle que \(A^3 - 4A^2 + 4A = 0\) et \(\mathrm{tr}(A) = 0\).{{c1::\(X(X-2)^2\)&nbsp…
Published 01/26/2025 Soit \((f, g) \in L(E)^2\) où \(E\) est un \(\mathbb C\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. On suppose que \…
Published 01/26/2025 Racine carrée de la dérivation. Soit \(d\) l'endomorphisme de \(\mathrm{C}^\infty(\mathbb R, \mathbb C)\) défini par \(f…
Published 01/26/2025 Soit \(E\) un \(\mathbb K\)-espace vectoriel de dimension finie. Soit \(u \in \mathrm{L}(E)\). On suppose \(\mathrm{Im}(u^2) …
Published 01/26/2025 Soient \(E\) de dimension finie et \(u \in \mathrm{L}(E)\). Montrer que \(\delta_k = \mathrm{rg}(u^k) - \mathrm{rg}(u^{k+1})\)&nbs…
Published 01/26/2025 Soient \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb C)\) et \(M = \begin{pmatrix} A & 0_{\mathrm{M}_n(\mathbb C)} \\ A & A\end{pmatrix}\). Mont…
Published 01/26/2025 Soit \(P = X^n + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a_kX^k \in \mathbb C[X]\). Montrer que si \(\lambda \in \mathbb C\) est une racine de&n…
Published 01/26/2025 Soit \(f\) un endomorphisme cyclique de \(E\). Montrer que tout endomorphisme \(g\) de \(E\) qui commute avec …
Published 01/26/2025 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\). Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) cyclique. Montrer que…
Published 01/26/2025 On pose \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathrm{M}_n(\mathbb C) \) engendré par les matrices nilpotentes. Montrer que \(F…
Published 01/26/2025 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soit \(f \in \mathrm{L}(E)\). Montrer que \(f\) est diagonalisab…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb R)\) et soit \(\lambda \in \mathrm{Sp}_\mathbb C(A)\). Montrer que \(\bar \lambda\) est une…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in \mathrm{M}_n(\mathbb R)\). On suppose que toutes les valeurs propres réelles de \(A\) sont positives. Montrer que \(\…
Published 01/26/2025 On suppose \(E\) de dimension finie \(n \geqslant 2\). Soit \(f\) un endomorphisme de rang \(1\). Montrer que \(f\)…
Published 01/26/2025 Soient \(f \in \mathrm L(\mathbb C^n)\) et \(k \in \mathbb N \backslash\{0, 1\}\). On suppose que \(f^k \) est diagonalisable…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). On pose \(B = (\mathrm{com}(A))^\top\). Soient \(\lambda \in \mathbb C\) et \(X \in \m…
Published 01/26/2025 Soit \((A, B) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb C)\). On pose \(M= \begin{pmatrix} 0 & B \\ A & 0 \end{pmatrix}\). Montrer que \(M\)&nb…
Published 01/26/2025 On suppose que \(\mathbb Q \subseteq \mathbb K\) et que \(E\) est de dimension finie. Soient \(f\) et \(g\) da…
Published 01/26/2025 Soit \(M \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). On pose \(\begin{array}{} \varphi_M : & \mathrm M_n (\mathbb R) & \to & \mathrm M_n(\math…
Published 01/26/2025 Soit \(G\) un sous-groupe commutatif fini \(p \) de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\). Montrer qu'il existe \(P \in \mathrm {…
Published 01/26/2025 Soit \(M \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que si \(M\) et \(2M\) sont semblables, alors \(M\) est nilpotente.{…
Published 01/26/2025 Soit \(M \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que \(M\) est nilpotente si et seulement si \(\forall k \in \mathbb N\backslash \{0…
Published 01/26/2025 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle \(n\). Soit \(f \in \mathrm L(E)\). Montrer que \(f\) admet&…
Published 01/26/2025 Soient \(A, B\) deux matrices de \(\mathrm M_n(\mathbb K)\) diagonalisables. Montrer que \(\varphi : M \mapsto AM-MB\) e…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). On suppose que \(\varphi_A : M \mapsto AM - MA\) est diagonalisable. Montrer que \(A\)&nbsp…
Published 01/26/2025 Soient \(E\) de dimension finie. Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) nilpotent d'indice de nilpotence \(n = \dim(E…
Published 01/26/2025 On suppose \(E\) de dimension finie. On suppose que \(\pi_f = \displaystyle \prod_{i=1}^k(X - \lambda_i)^{\alpha_i}\) est scindé.…
Published 01/26/2025 Soient \(A\) et \(B\) des matrices de \(\mathrm M_n(\mathbb R)\) diagonaliables telles que \(A^3 = B^3\). Montrer q…
Published 01/26/2025 Théorème de Burnside. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\) tel qu'il existe \(r \in \mathbb N\)&nbs…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb Z[X]\) un polynôme unitaire. On note \(\lambda_1, \cdots, \lambda_n\) ses racines complexes. Montrer que&nbsp…
Published 01/26/2025 Théorème de Kronecker. Soit \(P \in \mathbb Z[X]\) un polynôme unitaire. On note \(\lambda_1, \cdots, \lambda_n\) ses racines comp…
Published 01/26/2025 Extraction de racines \(k^{es}\). Soit \(k \in \mathbb N\backslash\{0\}\). Soit \(M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb C)\), il existe \(A …
Published 01/26/2025 Lemme de Schur. Soit \(E\) un \(\mathbb C\)-espace vetoriel de dimension finie. Soit \(Q \subseteq \mathrm L(E)\) irrédu…
Published 01/26/2025 Pour \(p \geqslant 1\), on pose \(\|\vec x\|_p = \left(\displaystyle \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^\frac 1 p \). Montrer que \(\displays…
Published 01/26/2025 Soient \(U\) et \(V\) deux parties ouvertes et denses. Montrer que \(U \cap V\) est {{c1::un ouvert dense de \(E\)}…
Published 01/26/2025 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb R\) et \(f : I \to \mathbb R\) une application dérivable sur \(I\). Montrer…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\) telle que \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp}(A), |\lambda| < 1\). Montrer que \(\displayst…
Published 01/26/2025 Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb Z)\) diagonalisable telle que \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp}_\mathbb C(A), |\lambda| < 1\). Mont…
Published 01/26/2025 On note \(\mathrm T_n(\mathbb R)\) l'ensemble des matrices trigonalisables de \(\mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer que \(\mathrm T_…
Published 01/26/2025 Soit \(P \in \mathbb R_n[X]\). Montrer que \(P\) est scindé sur \(\mathbb R\) si et seulement si \(\forall z \in \mathbb…
Published 01/26/2025 On note \(\mathrm D_n(\mathbb R)\) et \(\mathrm T_n(\mathbb R)\) l'ensemble des matrices diagonalisables et trigonalisables. Montr…
Published 01/26/2025 Soit \((A, B) \in (\mathrm M_n(\mathbb K))^2\). Montrer que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\).{{c1::Si \(A\) est inversible, \(ABAA^{…
Published 01/26/2025 Soit \((A, B) \in (\mathrm M_n(\mathbb K))^2\). Montrer que \(\mathrm{Com}(AB) = \mathrm{Com}(A)\mathrm{Com}(B)\).{{c1::On le montre pour&nb…
Published 01/26/2025 Montrer que \(\varphi : M \mapsto \pi_M\) n'est pas continue sur \(M_n(\mathbb C)\).{{c1::On a \(\varphi\left(\frac 1 p \mathrm C_…
Published 01/26/2025 Montrer que l'application \(\varphi : \mathrm M_n(\mathbb C) \to \mathrm M_n(\mathbb C)\) qui a \(M \in \mathrm M_n(\mathbb C)\) a…
Published 01/26/2025 Soit \(F\) l'application qui à une norme \(N\) sur \(\mathbb R^n\) associe la boule fermée unité pour \(N\). Montre…
Published 01/26/2025 On pose \(O\) l'ensemble des polynômes de \(\mathbb R_n[X]\) ayant \(n\) racines simples dans \(\mathbb R\). Montre…
Published 01/26/2025 Lemme de Baire. On suppose que \(E\) est complet. Montrer que {{c4::si \((F_k)_{k\in \mathbb N}\) est une suite de fermés de …
Published 01/26/2025 Rayon spectral. Montrer que pour tout \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\), \(\rho(A) = \inf |||A|||_N\) où \(N\) parcourt l'ense…
Published 01/26/2025 Rayon spectral. Montrer que pour tout \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C), \rho(A) = \displaystyle \lim_{p \to+ \infty} (|||A^p|||)^\frac 1 p\)&n…
Published 01/26/2025 Soit \(A = (a_{i, j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathrm M_n(\mathbb K)\). On note \(|||\cdot|||_\infty\) et \(||| \cdot||…
Published 01/26/2025 On suppose \(E\) complet. Soit \((F_k)_{k \in \mathbb N}\) une suite de sous-espaces vectoriels de \(E\) fermés tels que…
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